建模示例——投资的收益和风险

数学建模示例（1998A）——投资的收益和风险市场上有n种资产Si(i=1,2……n)可以选择,现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资.这n种资产在这一时期内购买Si的平均收益率为ri,风险损失率为qi,投资越分散,总的风险越小,总体风险可用投资的Si中最大的一个风险来度量.购买Si时要付交易费(费率pi),当购买额不超过给定值ui时,交易费按购买ui计算.另外,假定同期银行存款利率是r0,既无交易费又无风险(r0=5%).已知n=4时相关数据如下：Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540建模示例——投资的收益和风险(1998A)1)试给设计一种投资组合方案,即用给定达到资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,使总体风险尽可能小.2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进行计算:Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.1220S933.653.32.7457S1036.8402.9248Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1111.8315.1)195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131基本假设：1.投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1；2.投资越分散，总的风险越小；3.总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量；4.n种资产Si之间是相互独立的；5.在投资的这一时期内,ri,pi,qi,r0为定值,不受意外因素影响;6.净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。二、基本假设和符号规定符号规定：Si-------第i种投资项目，如股票，债券;ri,pi,qi----分别为Si的平均收益率,风险损失率,交易费率;ui---------Si的交易定额;r0---------同期银行利率;xi-------投资项目Si的资金;Q(x)------总体收益函数;P(x)-------总体风险函数；三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即交易费=pimax{ui,xi};3．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:niiiiiixupxrxQ0,max)(maxnixqxPii,,2,1max)(minMxpniii0)1(nixi,,2,1,0目标约束条件4.模型简化：2)简化总体风险函数P(x):iniiiniiiiiixprxupxrxQ00,max)(则令;,,2,1maxnixqii1)简化总收益函数Q(x)购买Si所付交易费是一个分段函数,即交易费=pimax{ui,xi};而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xinixqxPii,,2,1max)(minnixqtsxPii,2,1,..),(min简化后的模型——双目标线性规划模型iniiixprxQ0)(maxnixqtsxPii,2,1,..),(minMxpniii0)1(nixi,,2,1,0四、模型求解iniiixprxQ0)(maxnixqtsxPii,2,1,..),(minMxpniii0)1(nixi,,2,1,0解法1固定风险水平，极大化净收益——模型1解法2固定净收益水平,极小化风险损失——模型2解法3权衡资产风险和预期净收益两方面,对风险、收益赋予权重s和1－s(s称为投资偏好系数)——模型3iniiixprxQ0)(maxniMaxqtsii,2,1,..0Mxpniii0)1(nixi,,2,1,0模型1确定风险水平a0，使每一项投资的风险损失不超过a0*M，并极大化净收益，来得到最优投资组合——把多目标问题转化为单目标问题通常在分析问题时，需要取多组不同的风险水平a0，观察净收益的变化情况，以便给出合理的风险水平a0。如取风险水平a0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变化情况如图。00.020.040.060.080.10.050.10.150.20.250.3aQ1.00000000.660.080.130.040.080.0020.330.160.270.070.150.00400.240.400.110.220.00600.320.530.1300.00800.400.58000.0100.480.51000.01200.560.43000.01400.640.35000.01600.720.27000.01800.800.19000.02000.880.11000.02200.960.03000.02400.990000.026a0＝0.006-----a0＝0.025模型1结果分析：返回4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.风险大，收益也大。模型2确定净收益水平下限b0，使每一项投资的净收益不低于b0，并极小化风险，来得到最优投资组合——把多目标问题转化为单目标问题同样在分析问题时，取多组不同的收益水平下限b0，观察风险的变化情况，以便给出合理的收益水平下限b0。00bxpriniiinixqtsxPii,2,1,..),(minMxpniii0)1(nixi,,2,1,0注意这里决策变量为x和a！模型3权衡投资风险和预期净收益两方面,对风险、收益赋予权重s和1－s(s称为投资偏好系数)取多组不同的偏好系数s，观察风险和收益的变化情况，以便给出合理的偏好系数s。注意这里决策变量为x和a！nixi,,2,1,0nixqtsxprssiiniiii,2,1,..)1(min0Mxpniii0)1(