全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

课题全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容一、课前检测1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________．3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE=9cm，EF=12cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．图（1）图（2）图（3）4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．6．不能确定两个三角形全等的条件是（）A．三边对应相等B．两边及其夹角相等C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（）A．∠B=∠EB．∠C=∠FC．AC=DFD．前三种情况都可以8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③参考答案：1．△ADB△ADC2．ASA（或AAS）SSS3．9cm12cm11cm4．∠ACB=∠DBC或AB=CD5．△ACBAAS6·D7·D8·A二、知识梳理知识要点：要点1：全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2：全等三角形的判定（1）两边及夹角对应相等SAS；（2）两角及夹边对应相等ASA；（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS；（4）三边对就应相等SSS。要点3：找全等三角形的对应边，对应角的方法（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4：寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点①有两组对应角相等时；找②有两组对应边相等时；找③有一边，一邻角相等时；找④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的AD，图（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。三、例题讲解：例1.如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。.思路分析：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。由条件ACCE，BDDF可得90ACEBDF，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。解答过程：ACCE，BDDF90ACEBDF在RtACE与RtBDF中AEBFACBD∴RtACERtBDF(HL)ABAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF与BDE中AFBEABACBDACFBDE(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例2.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答过程：延长AD交BC于F在ABD与FBD中90ABDFBDBDBDADBFDBABDFBD(ASA2DFB又1DFBC21C。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：90ABC，F为AB延长线上一点90ABCCBF在ABE与CBF中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。思路分析：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。解答过程：延长AE至点F，使EFAE，连接DF在ABE与FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFADFADBEDF，ADCBADB又ADBBADADFADCABDF，ABCDDFDC在ADF与ADC中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又2AFAE2ACAE。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。四、课堂练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()A.3AB，4BC，8CAB.4AB，3BC，30AC.60C，45B，4ABD.90C，6AB3.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有()A.4个B.3个C.2个D.1个（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）4.如图，已知ABCD，BCAD，23B，则D等于()A.67B.46C.23D.无法确定二、填空题：5.如图，在ABC中，90C，ABC的平分线BD交AC于点D，且:2:3CDAD，10ACcm，则点D到AB的距离等于__________cm；6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BCBD为折痕，则CBD的大小为_________；三、解答题：7.如图，ABC为等边三角形，点,MN分别在,BCAC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。8.如图，90ACB，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。9.如图，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求证：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF10.已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.参考答案一、选择题：1.A2.C3.B4.C二、填空题：5.46.90三、解答题：7.解：ABC为等边三角形ABBC，60ABCC在ABM与BCN中ABBCABCCBMCNABMBCN(SAS)NBCBAM60AQNABQBAMABQNBC。8.证明：AECD，BFCD90FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCFCAEBCF在ACE与CBF中FAECCAEBCFACBCACECBF(AAS)BFCE。9.证明：（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠DAB＋∠EAF=180°∴∠B=∠EAF在△ABC和△FAE中∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF（2）∵△ABC≌△FAE∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF10.证明：延长BA、CE交于点F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC五、课堂小结(1)全等三角形的概念及其性质(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的对应边，对应角的方法(4)寻找两个三角形全等的途径六、课后作业一、填空题1·如图（1），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________三角形．2·如图（2），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD__________PE（填“”或“”或“=”）．3．如图（3），△ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线应是____________________________．图（1）图（2）图（3）图（4）4．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．5．如图（4），AD=AE，若△AEC≌△ADB，则需增加的条件是______________．（至少三个）二、选择题6．如图（8），图中有两个三角形全等，且∠A=∠D，AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（）A．△ABC≌△DEFB．△ABC≌△DFEC．△BAC≌△DEFD．△ACB≌△DEF7．如图（9），AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有____________对A．1B．2C．3D．4图（8）图（9）图（10）图（11）8．如图（10），△ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAD等于（）A．70°B．60°C．50°D．1