13.3.2-等边三角形

人教版八年级数学上册13.3等腰三角形13.3.2等边三角形理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题。学习目标如图△ABC中AB=AC等腰三角形的性质：1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线合一)。DCBA3、等腰三角形是轴对称图形.对称轴______________所在直线.OAB如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.∴OA=OB(等角对等边)∵△ABC中，∠A=B等腰三角形的判定OABCMN角平分线＋平行等腰三角形123三条边都相等的三角形是等边三角形．创设情境，导入新知问题满足什么条件的三角形是等边三角形？等边三角形ABC联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.创设情境，导入新知请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？ABCABC三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。ABCAB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：①从边看；②从角看；③从对称性看；④从重要线段看图形边角轴对称图形等腰三角形两边相等（定义）两底角相等（等边对等角）是（三线合一）一条对称轴等边三角形三边相等（定义）？？细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？ABC等边三角形的内角都相等吗？为什么？探究一由已知：AB=AC=BC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．同理∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形边角轴对称图形等腰三角形两边相等（定义）两底角相等（等边对等角）是（三线合一）一条对称轴等边三角形三边相等（定义）？相等每个角都等于60°等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。ABC探究性质二等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？结论:等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.等边三角形性质探索三:（对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线）相等每个角都等于60°细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形边角轴对称图形等腰三角形两边相等（定义）两底角相等（等边对等角）是（三线合一）一条对称轴等边三角形三边相等（定义）是（三线合一）三条对称轴⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.⑴等边三角形的三边都相等ABC）（60°60°（3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.AFEDCBOABC△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠ABC=∠A=∠ACB=60°∴∠DBC=∠E∴BD=DE（等角对等边）∵CE=CD∴∠CDE=∠E=1/2∠ACB=30°（等边对等角）∵AB＝AC,D为AC的中点∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=30°（三线合一）思考题？一个三角形满足什么条件就是等边三角形?细心观察，探索性质请你将得到的这两个命题进行证明.等边三角形等腰三角形一般三角形三个角都相等的三角形是等边三角形？已知：如图，△ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BCABC证明：在△ABC中∵∠A=∠B（已知）∴BC=CA（等角对等边）同理CA=AB∴BC=CA=ABABC∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？第一种情况：当顶角是60度时第二种情况：当底角是60度时已知：△ABC中，AB=AC，∠A=600。求证：AB=AC=BCABC证明：△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）∵∠A=600∴∠B=∠C=600∴AB=AC=BC（等角对等边）已知：△ABC中，AB=AC，∠B=600。求证：AB=AC=BCABC证明：△ABC中∵AB=AC，∴∠C=∠B=600（等边对等角）∴∠A=1800-∠B-∠C=600∴AB=AC=BC（等角对等边）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。ABC∵∠B=600AB=BC∴△ABC是等边三角形2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）一般三角形等边三角形ABC等腰三角形等边三角形ABC∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形∵∠B=600AB=BC∴△ABC是等边三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．动脑思考，例题解析例1如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.ABCDE练习与巩固1.下列说法中,正确说法的个数为()(1)若等腰三角形有一个角等于60°,则这个三角形为等边三角形(2)等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形(3)有两个角是60°的三角形一定是等三角形(4)等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是3条A.1个B.2个C.3个D.4个D2.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个外角是120°,那么这个三角形是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.正三角形D.含30°角的直角三角形3.如图,△ABC是等边三角形,且∠1=∠2=∠3,则∠D等于()A.90°B.80°C.45°D.60°ABCDEF123CD探索含30°角的直角三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质的应用。学习目标1、等边三角形的三条边都相等；2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；3、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分线都三线合一．4、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交于一点；二、等边三角形的判定1．三个边都相等的三角形是等边三角形；2．三个角都相等的三角形是等边三角形；3．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形．一、等边三角形的性质复习巩固探究1用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300角所对的直角边)与斜边，记录下数据，你有什么发现？操作探究猜一猜在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？操作探究在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。探究2①当将两个同样大小的三角板（含30°和60°的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；②得出300角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.操作探究探究2①当将两个同样大小的三角板（含30°和60°的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；②得出300角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.操作探究我们可以用两个同样大小的三角尺（含30°和60°的角）拼接起来验证ACDB验证：BACD30°数学化CBADCBAD60°60°可得：△ABD是等边三角形∵AC⊥BD∴BC=CD=12BD∵BD=AB∴BC=12ABCBA在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。求证：BC=AB。21证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.BC30°AD∴△ABC≌△ADC（SAS）在△ABC与△ADC中∴AB=ADBC＝DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴BC＝DC＝BD=AB1212∵∠BAC=30°∴∠B=60°∴△ABD是等边三角形证明方法：倍长法DBCA证明：在△ACB内部作∠ACD=∠A=300,交AB于D∴△ADC是等腰三角形，△BCD是等边三角形则∠DCB=∠B=600∴AD=CD=BD=BC∴ABBC21证法二：证明：在BA上截取BE=BC，连接EC∵∠B=60°，BE=BC∴△BCE是等边三角形∴∠BEC=60°，BE=EC∵∠A=30°∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°∴AE=EC∴AE=BE=BC∴AB=AE+BE=2BC.ACB证法三：E证明方法：截半法∴ABBC21含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。几何语言∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=AB2130°ABC归纳新知√1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．判断1、如图，在Rt△ABC中∠C=900,∠B=2∠A，AB=6cm，则BC=________.2、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_______.ACB3cm8cm3、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BD平分∠ABC，且BD=16cm，则AC=.24cmD解:∵DEAC,BCAC,A=30∴BC=AB,DE=AD∴BC=7.4=3.7(m)∵AD=AB=×7.4=3.7(m)∴DE=AD=3.7=1.85(m)212121212121∠°如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC，DE要多长？ABCDE答：立柱BC的长是3.7m，DE的长1.85m。21拓展提升已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20.求:腰上的高.∵∠B=∠ACB=150(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300∴CD=AC=×20=10ACBD1501502121解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D300141.在△ABC中，∠C=900,∠B=600,BC=7,则∠A=----------,AB=----------2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=----------53、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠A=300，BD=1cm,那么∠BCD=_____,BC=_____.3002cmABCD课堂检测4cm2cm4、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB于D,∠A=300,且AB=8cm,则BC=----------,∠BCD=----------,BD=----------,AD=----------,5、如图△ABC是等边三角形，AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D、E、F点，则∠ADF=______,BD=______，BE=_______.AEDCB1.25cm2.5cm60°FABCD3006cm课堂小结本节课你有何收获？1、含有30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、添加辅助线不同的证明方法。