1)高一数学-集合及表示方法

人教版高一数学上学期第一章第1.1节集合主讲：教师邹老师Page21.集合：由一些确定的、互异的对象构成的一个整体就叫做集合。简称集。2.元素：集合里的各个对象叫做这个集合的元素。3.元素的三个属性：确定性、互异性、无序性（任意性也是元素具有的一个性质，但一般讲以上的三个属性）.集合的有关概念：2.对集合中元素三个特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.【注意】集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果，就说a属于A“a属于A”不属于如果，就说a不属于A“a不属于A”2.元素与集合的关系a是集合A的元素a∈Aa不是集合A的元素aAPage54.有限集：含有有限个元素的集合。5.无限集：含有无限个元素的集合。6.空集：不含有任何元素的集合。（即元素个数为0，是有限集）。7.单元素集：仅含有一个元素的集合。8.点集：集合中的元素全部由点组成。9.数集：集合中的元素全部由数组成。10.解集：由方程或方程组、不等式或不等式组的解作为元素构成的集合。Page611.集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A、B、C、D、…表示集合。如A={-1，1，0，34}、B={斜三角形}。12.元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a、b、c、d、…表示元素。13.空集的符号表示：∅或{}。特别注意的是{∅}不是空集，而是一个单元素集合。14.属于符号：∈如-1∈A、1∈A、34∈A15.不属于符号：如2A、1.5A名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR3.常用数集及表示符号列举法把集合中的元素出来写在大括号内表示集合的方法描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法4.集合的表示方法一一列举Page821.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。22.列举法有三种形式：①是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合可表示为{0，2，-3，5}；②是有限集但元素个数较多，如由从50到100的所有整数组成的集合可表示为{50，51，52，53，…，98，99，100}；③是无限集且元素离散，如由所有的正偶数组成的集合可表示为{2，4，6，8，……}重难点讲解Page923.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。24.描述法有两种表述形式：格式：{元素代表|元素属性1，元素属性2，…}①数式形式如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表示为{x│x-3＞2}；由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为{（x，y）│y=x+1}。②语言形式如由所有直角三角形组成的集合，可表示为{直角三角形}；由所有小于6的正整数组成的集合，可表示为{小于6的正整数}重难点讲解Page10下面集合里的元素是什么？1.{大于3小于11的偶数}（描述法）答案：2、4、6、8、10。用列举法可以表示为{2，4，6，8，10}。2.{平方后等于1的数}（描述法）答案：-1、1。用列举法表示{1，-1}。3.{中国古代的四大发明}（描述法）答案：活字印刷、造纸、指南针、火药。用列举法可以表示为{活字印刷，造纸，指南针，火药}。典型例题分析Page11用描述法写出集合如能化简并化简为列举法的形式4.由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的一切自然数。答：{由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的自然数}={1，3，6，13，31，16，61，36，63，136，361，613，316，163，631}。5.直角坐标系第二象限内所有的点的坐标。答：{(x,y)│x0,y0}典型例题分析1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？【提示】“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都不能构成集合.2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？【提示】在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.集合中元素的特性已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值.【思路点拨】如果令a2=1，0或a解方程求a检验得x值【解析】(1)若a2＝1，则a＝±1，当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合.(2)若a2＝0，则a＝0，此时集合A中有两个相同元素0，舍去.(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.综上可知：a＝－1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.1.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1){a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个不同的集合；(2)集合中有5个元素；(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合A＝{(1，－3)}与B＝{(－3,1)}是同一集合.【解析】(1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺序，只要是相同几个元素即可，故{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相同的集合.(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而＝0.50，因此，此种表示不能构成集合.要想表示集合，应写作，含有4个元素.(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集.(4)不正确.A＝{(1，－3)}表示的是由点(1，－3)组成的单元素点集，B＝{(－3,1)}表示的是由点(－3,1)组成的单元素点集，而(1，－3)和(－3,1)是不同的两个点，因此A与B是不同的集合.121，12，14，0.71元素与集合的关系设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}.若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.【思路点拨】因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从而a＋b是奇数.【解析】∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z).∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z).∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1.又∵k1＋k2∈Z，∴a＋b∈B，从而a＋bA.判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.2.所给下列关系正确的个数是()π∈R；②Q；③0∈N＋；④|－4|N＋.A.1B.2C.3D.4【解析】∵π是实数，是无理数，∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；|－4|是正整数，∴③④错误.【答案】B3集合的表示方法用适当的方法表示下列集合(1)比4大2的数；(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(3)不等式x－23的解的集合；(4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合.【思路点拨】解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个.【解析】(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}.(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0∴，∴方程的解集为{(2，－3)}.(3)由x－23，得x5.故不等式的解集为{x|x5}.(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－1}.x＝2y＝－3(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.3.用适当的方法表示下列集合(1)二元二次方程组的集合；(2)大于4的全体奇数组成的集合；(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；(4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合.【解析】(1)列举法：{(0,0)，(1,1)}；(2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；(3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，所以所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}；(4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}.y＝xy＝x2x＝0y＝3或x＝1y＝2或x＝2y＝1或x＝3y＝0下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}.其中正确的有()A.3个B.2个C.1D.0个【错解】A【错因】对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.x＋y＝3x－y＝－1【正解】①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}.②集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.③方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集，正确的表示应为{(1,2)}或【答案】Dx＋y＝3x－y＝－1(x，y)x＝1y＝2.2.已知A＝{x|3－3x0}，则下列各式正确的是()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∈A【解析】集合A表示不等式3－3x0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.【答案】C3.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是.【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，故实数a不能取的值的集合是{1，－1}.【答案】{1，－1}4.以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？【解析】∵方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素.Page29354xzzyyx354xzzyyx典型例题分析6.写出方程组的解集。答：{(x,y,z)│}={(1,3,2)}