2011年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

12011年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2011•上海）若全集U=R，集合A={x|x≥1}，则∁UA={x|x＜1}．【考点】补集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由补集的含义即可写出答案．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥1}，∴CUA={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查补集的含义．2．（4分）（2011•上海）计算=﹣2．【考点】极限及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据题意，对于，变形可得，分析可得，当n→∞时，有的极限为3；进而可得答案．【解答】解：对于，变形可得，当n→∞时，有→3；则原式=﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．3．（4分）（2011•上海）若函数f（x）=2x+1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=．【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可【解答】解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得故答案为【点评】本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算．4．（4分）（2011•上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．2【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用．5．（4分）（2011•上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0．【考点】直线的点斜式方程；向量在几何中的应用．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．【解答】解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．【点评】本题是基础题，考查直线的法向量，方向向量以及直线的斜率的求法，考查计算能力．6．（4分）（2011•上海）不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出7．（4分）（2011•上海）若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题．3【分析】根据圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，得到圆锥的母线长是3，底面直径是2，代入圆锥的侧面积公式，得到结果．【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，∴圆锥的母线长是3，底面直径是2，∴圆锥的侧面积是πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π【点评】本题考查由三视图求表面积和体积，考查圆锥的三视图，这是比较特殊的一个图形，它的主视图与侧视图相同，本题是一个基础题．8．（4分）（2011•上海）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．49．（4分）（2011•上海）若变量x，y满足条件，则z=x+y得最大值为．【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．10．（4分）（2011•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，5∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．11．（4分）（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是6．【考点】二阶行列式的定义．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．【解答】解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．【点评】本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．12．（4分）（2011•上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．【考点】向量在几何中的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．【点评】此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．613．（4分）（2011•上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为0.985（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数129，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，∴要求的事件的概率是1﹣=1﹣≈0.985，故答案为：0.985【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．14．（4分）（2011•上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]．【考点】函数的值域；函数的周期性．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，令x+1=t进而可求函数在[1，2]时的值域，再令x+2=t可求函数在[2，3]时的值域，最后求出它们的并集即得（x）在区间[0，3]上的值域．【解答】解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[﹣2，5]…（1）令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6]…（2）同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（3）由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．【点评】本题主要考查了函数的值域、函数的周期性．考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011•上海）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）7A．y=x﹣2B．y=x﹣1C．y=x2D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．【解答】解：函数y=x﹣2，既是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故A正确；函数y=x﹣1，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，故B错误；函数y=x2，是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，故C错误；函数，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，故D错误；故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．16．（5分）（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．C．D．【考点】基本不等式．菁优网版权所有【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．17．（5分）（2011•上海）若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F，则（）A．E⊊FB．E⊋FC．E=FD．E∩F=∅【考点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】利用正弦函数的零点进行转化求解是解决本题的关键，注意整体思想的运用，结合集合的包含关系进行判断验证．【解答】解：由题意E={x|x=kπ，k∈Z}，由2x=kπ，得出x=，k∈Z．故F={x|x=，k∈Z}，∀x∈E，可以得出x∈F，反之不成立，故E是F的真子集，A符合．故选A．【点评】本题考查正弦函数零点的确定，考查集合包含关系的判定，考查学生的整体思想和转化与化归思想，考查学生的推理能力，属于三角方程的基本题型．818．（5分）（2011•上海