高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）,abbcac③（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,④（可积性）bcaccba0,bcaccba0,⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且⑧（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式①222abababR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab②（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33abcabc()abcR、、（当且仅当abc时取到等号）.④222abcabbccaabR，（当且仅当abc时取到等号）.⑤3333(0,0,0)abcabcabc（当且仅当abc时取到等号）.⑥0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）⑦banbnamambab1，（其中000)abmn，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa⑨绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式①平均不等式：2211222abababab，,abR（，当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab222().2abab②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan③二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,,,).xyxyR④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().aaabbbababab⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)nnaaabbb21122(...).nnababab⑦向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...nnaaabbb为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则12111122......nnnnnabababacacac1122....nnababab（反序和乱序和顺序和），当且仅当12...naaa或12...nbbb时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()fx,对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242aa②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kkk211,(1)kkk2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()fxfxgxgxfxgxfxgxgx（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0()(0)()fxfxaafxa⑵2()0()(0)()fxfxaafxa⑶2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或⑷2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx⑸()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a时,()()()()fxgxaafxgx⑵当01a时,()()()()fxgxaafxgx规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a时,()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx⑵当01a时,()0log()log()()0.()()aafxfxgxgxfxgx规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)aaaaa⑵平方法：22()()()().fxgxfxgx⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);xaaxaa②(0);xaxaxaa或③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a时00.a⑵不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a时0,0;bc②当0a时00.a⑶()fxa恒成立max();fxa()fxa恒成立max();fxa⑷()fxa恒成立min();fxa()fxa恒成立min().fxa15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;zAxBy②“斜率”型：yzx或;ybzxa③“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()().zxayb在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.