专题训练(七)-圆中常见辅助线归类

九年级数学上册（人教版）第二十四章圆专题训练(七)圆中常见辅助线归类类型之一遇弦加弦心距或半径1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为()A．10B．8C．5D．32．如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是()A．25B.5C．213D.13第1题图第2题图AC类型之一遇弦加弦心距或半径第3题图第4题图3．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3B．4C．32D．424．如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是______．C60°类型之二遇直径添加直径所对的圆周角5．如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D为()A．50°B．45°C．40°D．30°7．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小；(2)求点A到直线BC的距离．6．如图所示，点A，B，C，D分别是⊙O上四点，∠ABD＝20°，BD是直径，则∠ACB＝______．第5题图第6题图第7题图C70°解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线．∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，即∠ACB＝30°(2)过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴BD＝32.在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD＝BC2－BD2＝332.∵AD＝CD，∴AC＝33.∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴AE＝12AC＝12×33＝332，即点A到直线BC的距离为332类型之二遇直径添加直径所对的圆周角8．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形类型之二遇直径添加直径所对的圆周角(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1类型之二遇直径添加直径所对的圆周角类型之三遇切线添加过切点的半径解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ与⊙O相切于P点，MN是⊙O的直径，∴OP⊥PQ.又∵NP平分∠MNQ，∴∠MNP＝∠QNP，又∠OPN＝∠MNP＝∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ9．如图所示，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ.(1)求证：NQ⊥PQ；(2)若⊙O的半径R＝3，NP＝33，求NQ的长．(2)连接MP，在Rt△MNP中，∵MN＝2R＝6，NP＝33，∴MP＝MN2－PN2＝3，则∠MNP＝30°，∴∠QNP＝30°.∴PQ＝332.故NQ＝PN2－PQ2＝92类型之三遇切线添加过切点的半径10．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．类型之三遇切线添加过切点的半径解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD＝90°.由AD⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC.在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO，∴∠BAC＝∠DAC＝30°(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°类型之四添加辅助线计算阴影面积11．如图所示，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B，E是半圆弧的三等分点，BE︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为()A.π9B.3π9C.332－3π2D.332－2π312．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积是_____________．第11题图第12题图D4π－333类型之四添加辅助线计算阴影面积13．如图所示，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝63cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由弦CD，BD与BC︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：连接CO，交DB于E，∴∠O＝2∠D＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，∴AC是⊙O的切线类型之四添加辅助线计算阴影面积(2)∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝33.在Rt△EOB中，∵EB＝33，由勾股定理可得OB＝6.又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S阴影＝S扇形OCB＝60360π·62＝6π(cm2)