Ch01应用概率统计陈魁

应用概率统计教材:《应用概率统计》陈魁编著清华大学出版社，北京，2000.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》来描述;7.研究化学反应的时变率，要以《马尔序列分析》方法非常有用;4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性估计》;3.寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；5.处理通信问题,需要研究《信息论》；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8.生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》；9.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是《排队论》.领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题,其中绝大领域的趋势还在不断发展.在社会科学领多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.随机现象——每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性——称之为统计规律性第一章随机事件及其概率§1.1随机事件及其运算对某事物特征进行观察,统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示试验前不能预知出现哪种结果1.随机试验与样本空间可在相同的条件下重复进行试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间——随机试验E所有可能的结果样本空间的元素,即E的直接结果,称为随机事件——的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间记为样本点(或基本事件)常记为，={}基本事件——仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件——全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.复合事件——由若干个基本事件组成的随机事件.不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.A随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算2.事件的关系和运算文氏图(Venndiagram)——A包含于BBA事件A发生必导致事件B发生ABBABAAB且1.事件的包含2.事件的相等BA或BABAAB事件A与事件B至少有一个发生BA发生nAAA,,,21的和事件——niiA1,,,,21nAAA的和事件——1iiA——A与B的和事件3.事件的并(和)BA或AB事件A与事件B同时发生BA发生nAAA,,,21的积事件——niiA1,,,,21nAAA的积事件————A与B的积事件1iiABABA4.事件的交(积)BABA发生事件A发生，但事件B不发生BABA——A与B的差事件5.事件的差——A与B互斥ABA、B不可能同时发生ABnAAA,,,21两两互斥,,,,21nAAA两两互斥njijiAAji,,2,1,,,,2,1,,,jijiAAji6.事件的互斥(互不相容)——A与B互相对立BAAB,每次试验A、B中有且只有一个发生ABAB称B为A的对立事件(或逆事件)，记为注意：“A与B互相对立”与“A与B互斥”是不同的概念7.事件的对立A运算律对应事件运算集合运算交换律ABBABAAB结合律)()(CBACBA)()(BCACAB分配律)()()(CBCACBA))(()(CABABCABABABAAB反演律例3在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书CABBC——精装书都是中文书BA——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件例4利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C都不发生——CBACBAA,B,C不都发生——CBAABC§1.2随机事件的概率历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义于1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设随机试验E具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生则称E为古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记个数中所包含的基本事件的n的基本事件的个数组成AmnmAP)(则1.古典概型概率的古典定义(2)2最多个数为：(1)1最多个数为：(3)3最多个数为：34334323448P3464n2143333694416PC1433414416P设在n次试验中，事件A发生了m次，2.频率与概率nmfn则称为事件A发生的频率概率的统计定义在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立.3.概率的公理化定义即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.设是随机试验E的样本空间，若对于E的每一事件A，都有一个实数P(A)与之对应,则称之为事件A的概率，只要满足下面的三条公理：非负性：0)(,APA规范性：1)(P11)(iiiiAPAP可列可加性：,,21AA其中为两两互斥事件，三条公理：非负性：0)(AP规范性：1)(P11)(iiiiAPAP可列可加性：,,21AA其中为两两互斥事件，4.概率的性质0)(P基本性质加法公式性质1加法公式)()()(,BPAPBAPBA互斥，则若事件niiniinAPAPAAA1121)(,,,两两互斥，则若事件S因为AAS互斥与AAＡＡAS性质2逆事件公式)(1)(APAP对任一事件A，有()()()1PSPAPA性质2在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP注意:S))(()(ABAPBP0)(ABP再由)(ABA)()(ABPAP由可加性设Ａ、B是两个事件，若,则有)()()(APBPABP)()(APBPBABA性质3减法公式)()(APBP移项得)()()(APBPABP对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABPBAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)B-ABAB注意:S)()())(()(ABBPAPABBAPBAPBAB又因再由性质3得证.)(ABBA对任意两个事件A、B，有)()()()(ABPBPAPBAPABAB性质4广义加法公式推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般：右端共有项.12n例设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.解：令A={恰有k件次品}nNknMNkMCCCAP)(超几何公式.3401.1的概率有一件不合格品件，求只有一件，至少任取件不合格品，从中件产品，其中有设有例解法一：321AAAAiAAi件不合格品，则表示恰好有品，表示至少有一件不合格设)()()()()(321321APAPAPAAAPAP310364)(CCCAPiii65性质解法二：)(1)(APAPA表示全是合格品，则因为31036)(CCAP65计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质2。性质例4有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.A为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}A则§1.3条件概率与独立性1.条件概率与乘法公式在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.(1).条件概率如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).一般P(B|A)≠P(B)P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}，A={掷出偶数点}，P(B|A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A，于是P(B|A)=1/3.A中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集合B中，容易看到)()(636131APABPP(B|A)设A、B为两事件,P(A)0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.定义ABP)()(APABP)()()|(BPABPBAP称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率.同理条件概率也是概率,故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性规范性可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP概率的一些重要性质都适用于条件概率.例如:性质计算2)可用缩减样本空间法1)用定义计算:,)()()|(APABPABPP(A)0掷骰子例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点}P(B|A）=31A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数P10.1ABP)()(APABP由条件概率的定义：若已知P(A),P(B|A)时,可以反过来求P(AB).乘法公式利用条件概率求积事件的概率即乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP(2)乘法公式12.2.,,.P某人忘记了电话号码的最后一位数字因而随机按号求他第三次拨通，不超过三次而拨通的概率设iA3,2,1i表示“按i次才对”解1231233()()()()10PAAAPAPAPA＋101)(iAP则抽签理论乘法公式11()10PA212121911()()()(|)10910PAPAAPAPAA39811()109810PA我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率.但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.独立性问题2.事件的独立性显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.B={第一次掷出6点}，A={第二次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设(1)两事件的独立性由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)定义设A,B为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A与事件B相互独立两事件独立