02-第一章-矢量分析与场论基础

第一章矢量分析与场论基础主要内容：1.1矢量的基本运算1.2矢量函数1.3场论基础1.4常用正交曲线坐标系1.1矢量的基本运算一、标量和矢量：•标量（scalar）：只有大小没有方向的量，用数值表示，如温度、质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、电阻等等•矢量（vector）（又称向量）：既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。1.1.1矢量的概念二、矢量的表示方法：•图示法：一定长短的有向箭头矢量的方向矢量的大小（称为模值、模）A•矢量的模值表示为：或A•写法上：手写带箭头上标的字母，如、印刷黑体（仅印刷品中采用）Aa•矢量的值与其所在的空间位置无关，因此空间平移不会改变一个矢量。AAAA•与其逆矢量模值相同，方向相反AAAA三、矢量的基本性质：四、单位矢量（Unitvector）：•定义：模值为1的矢量（一般用来指示方向）1ˆaa•表示方法：aˆ(一般用小写字母)aˆAˆˆAAaAaABBA•将两矢量的起点重合；•以两矢量为边作平行四边形；•两矢量所夹的平行四边形对角线为两矢量之和，两矢量的起点为和矢量的起点。ABBABBA1.1.2矢量的基本运算一、矢量加法和减法平行四边形法多个矢量相加：（三角形法）•将相加的所有矢量首尾相连，形成矢量链条；•由链条起点指向链条终点的矢量为所有矢量之和。•若链条起点与终点重合，则所有矢量之和为0。1A2A1nAnAiA01niiAABCCBABAABBA)(BABACBACBA•规则：ABBA结合律交换律ABBACCBCBA二、矢量与标量的乘法和除法例子：F=mapA=pA•模值：AApApp0p0•方向：设p,q均为实数ApqAqpAqApAqpBpApBAp•规则：三、两矢量的点积：AB=ABcosθAB•计算公式：0BA为锐角0BA为钝角•规则：ABBACABACBABApqBqAp2AAA1ˆˆaaA0,B0AB=0AB若，判断两矢量垂直的方法ABnˆ为单位矢量coscosˆˆAnAnA结论：矢量与单位矢量的点积，等于矢量在单位矢量所在方向上的投影，或称矢量在单位矢量所在方向上的分量。AnˆcosA如果tAnˆtˆApnA曲线上某点p处法线方向为，切线方向为nˆtˆ表示在该点的切向分量tAAtˆAnAAnˆ表示在该点的法向分量AsinBABA＝•模值：右手螺旋关系：右手四指微屈，与从转向的方向一致；大拇指竖直，大拇指方向为的方向。ABBABABA、、三矢量的方向成右手螺旋关系。ABBA•方向：BA垂直于两矢量，BA、模值等于二矢量所夹的平行四边形的面积。四、两矢量的叉积ABBAABBACBCACBA)(BApqBqAp0AA•规则：BABABA//0,0,0若判断两矢量平行的方法注意！五、标量三重积CAB=ABCsinθcos=ABsinθCcos=底面积高它表示由三矢量构成的平行六面体的体积ABCBA体积)()()(CBAACBBAC1.1.3直角坐标系及矢量的分解xyzoxyzzˆxˆyˆzyxˆˆˆ，，直角坐标系的坐标矢量：坐标单位矢量：与坐标系的坐标轴正方向相同的单位矢量ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxy=xz=yz=0xx=yy=zz=1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxy=zyz=xzx=yxx=yy=zz=0用坐标矢量表示任意矢量直角坐标系中的任意矢量均可以表示为坐标矢量的线性组合：zAyAxAAzyxˆˆˆz分别是在三个坐标轴上的投影；分别称为的x分量、y分量、z分量。zyxAAA、、AAxyˆyAyAˆxAxˆzAzAoˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxyzxyzxyzAx=(Ax+Ay+Az)x=Axx+Ayx+Azx=AAy=AAz=A直角坐标分量的求法、、的夹角分别为、、的方向与zyxAˆˆˆ的称为、、A方向角的称为、、Acoscoscos方向余弦cosAAxcosAAycosAAzxyyAxAzAAo222222xyzA=A=A+A+A=Acosα+cosβ+cosγ直角坐标系中矢量的模值计算公式：A222cosα+cosβ+cosγ=1例1.1.1：yx60vyxyvxvyvxvvyxˆ320ˆ20ˆcosˆcosˆˆ60xoy平面上的矢量模值为40，其方向与的夹角为60度，与的夹角为150度。写出其平面直角坐标表示式。vovxvy150xˆyˆ150解：例1.1.2：，求其方向角。zyxDˆ5ˆ4ˆ3yˆxˆzˆD25543222D1023cos1522cos122cos22cos113cosDDx解：同理，可求出zByBxBBzyxˆˆˆzBAyBAxBABAzzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(zAyAxAAzyxˆˆˆ矢量的基本运算在直角坐标系中的表示则设zpAypAxpAApzyxˆˆˆ222xyzpA=pA+(pA)+pA=pA矢量的基本运算在直角坐标系中的表示ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxyzxyzxxxyxzyxyyyzzxzyzzxxyyzzAB=(Ax+Ay+Az)(Bx+By+Bz)=ABxx+ABxy+ABxz+AByx+AByy+AByz+ABzx+ABzy+ABzz=AB+AB+ABˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxyzxyzxxxyxzyxyyyzzxzyzzyzzyxzzxxyyxxyzxyzAB=(Ax+Ay+Az)(Bx+By+Bz)=ABxx+ABxy+ABxz+AByx+AByy+AByz+ABzx+ABzy+ABzz=(AB-AB)x+(AB-AB)y+(AB-AB)zxyz=AAABBB矢量的基本运算在直角坐标系中的表示矢量的基本运算在直角坐标系中的表示xyzxyzxyzAAAABC=BBBCCCˆˆˆˆˆˆˆˆˆxyzxyzxyzA=Ax+Ay+AzB=Bx+By+BzC=Cx+Cy+Cz求与矢量方向相同的单位矢量。AAaˆAaAAˆ例1.1.3:AaˆA1解：例1.1.4:zyxAˆˆ3ˆ2zyxBˆˆˆ3求在方向上的投影。方向上的单位矢量表示为BBbˆB解：A在方向上的投影表示为bˆbAˆ1110113111332ˆ222BBABBAbA例1.1.5：zyxAˆ4ˆ3ˆ2zyxBˆ5ˆ2ˆ521432ˆˆˆˆˆˆzyxBBBAAAzyxBAzyxzyxABBA、求zyxBAABˆ7ˆ6ˆ23zyxˆ7ˆ6ˆ23zBABAyBABAxBABAxyyxzxxzyzzyˆˆˆ，并验证与是否垂直BABA、解：zyxBAˆ7ˆ6ˆ23ABAABA04736223zyxAˆ4ˆ3ˆ2zyxBˆ5ˆ2ˆBBABBA0352623ABBA验证：1.2矢量函数对于连续可微函数，其导数定义为ftΔt0dff(t+Δt)-f(t)=limdtΔttt+ΔtΔff(t)t标量函数当一个矢量依某个变量的变化而变化，就称该函数为矢量函数，简称矢函数，或者说矢量的每个分量都是函数，在直角坐标系中可表示为ˆˆˆxyzA(t)=A(t)x+A(t)y+A(t)zA(t)t矢量函数单变量矢函数：ztAytAxtAtAAzyxˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆΔt0xyzxyzΔt0yyxxzzΔt0Δt0Δt0xyzAt+Δt-AtAt=limΔtAt+Δtx+At+Δty+At+Δtz-Atx-Aty-A(t)z=limΔtAt+Δt-AtAt+Δt-AtAt+Δt-At=limx+limy+limzΔtΔtΔt=Atx+Aty+Atz导数：ztAytAxtAtAnznynxnˆˆˆdttAtAd微分：nnndttAtAd结论：对矢函数的每个分量分别求导数或微分即可。1.2.1矢函数的导数和微分例1.2.1：ybxarˆsinˆcosrdrd、求dybxadθrrdˆcosˆsindbard22cossinybxarˆcosˆsin（a、b为常数）解：多变量矢函数ztttAytttAxtttAtttAAnznynxnˆ,...,,ˆ,...,,ˆ,...,,,...,,21212121ˆˆˆyxziiiiAAAA=x+y+zttttni,...,2,1偏导数：ˆˆˆnnnnyxznnnniiiiAAAA=x+y+zttttni,...,2,1结论：对矢函数的每个分量分别求偏导数。说明：对电磁学来讲，一般有x、y、z、t四个自变量。例1.2.2：ˆˆ-jβz-jβzEx,y,z,t=Acosaxsinbycosωtex-BsinaxcosbycosωteyABωβ，，，ˆˆ-jβz-jβzE=-ωAcosaxsinbysinωtext+ωBsinaxcosbysinωteyˆˆ-jβz-jβzE=-jβAcosaxsinbycosωtexz+jβBsinaxcosbycosωtey求EE,tz解：为常数ititt)(tft)(itfnbiani=1Δt0f(t)dt=limf(t)Δtb结果是曲线下所围的面积1.2.2矢函数的积分aAB1M2MiM1nMLniiLλ0i=1fds=limfΔs曲线积分isiiλ=maxΔs其中复习定积分l1l2l3l4l有向线元矢量：大小为，方向为该点处有向曲线的正方向dldl1M2M有向曲线：定义了正方向的曲线l一、标量线积分ldl当时，变成有向线元，其方向为该点处的切线方向，亦即有向曲线的正方向Δl0Δl在直角坐标系中，有向线元矢量可表示为ˆˆˆdl=xdx+ydy+zdz一、标量线积分L1l2lil1nliA1An－2A1A定义：矢函数在L上的标量线积分为AniiLni=1λ0niini=1λ0LAdl=limAΔl=limAΔlcosθ=Acosθdl特别地，环路和环量L环路LAdl环量＝iiλ=maxΔl其中例1.2.3：ˆˆˆ2L23A=(4x+9y)x-14yz