定积分应用(平面图形面积)

回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(一、问题的提出曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfyabxyo)(xfyiinixfA)(lim10badxxf)(1ixix•求曲边梯形的面积(1)分割:ax0x1x2xn1xnb,xixixi1;(2)近似求和:(3)取极限:niiixfA10)(lim二、平面图形的面积由曲线yf上(x)、yf下(x)及直线xa、xb所围成的图形的面积如何求？所求图形的面积为：讨论：dxxfxfSba)]()([下上。y=f上(x)y=f下(x)Oxyabxx+dxxyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积|()|baAfxdx曲边梯形的面积21|()()|baAfxfxdx一、直角坐标系情形xxxxx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(x326xxx],3,0[)2(x23(6)xxx2xyxxy63于是所求面积dxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．abS4S14dxxaaba]0[220dxxaaba2204442aabab。dxxaaba2204442aabab。xyOy22xaabS1则椭圆的面积为解：设椭圆在第一象限的面积为S1。S4S14dxxaaba]0[220由曲线yf上(x)、yf下(x)及直线xa、xb所围成的图形的面积为dxxfxfSba)]()([下上。例1求椭圆12222byax所围成的图形面积。例3例4计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy选为积分变量x[0,8]x(1)[0,2],x2(2)22xxx(2)[2,8],x2(4)xx280222(24)18Axdxxxdx讨论：由曲线xj左(y)、xj右(y)及直线yc、yd所围成的图形的面积S如何求？Oxycdxj左(y)xj右(y)答案：dyyySdc)]()([左右jj。所求图形的面积为：ydyy21|()()|dcSyydyjjabxyOS1则椭圆的面积为解：设椭圆在第一象限的面积为S1。例1求椭圆12222byax所围成的图形面积。例3选为积分变量y[0,]yb221044[0]baSSbydyb2204babydyb24.4ababb例4计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[y2424182yAydyxy224xy求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结思考题设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.思考题解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)(])([2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导xyxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为.223xy一、填空题：1、由曲线eyeyx,及y轴所围成平面区域的面积是______________.2、由曲线23xy及直线xy2所围成平面区域的面积是_____.3、由曲线1,1,1,12xxyxxy所围成平面区域的面积是_______.4、计算xy22与4xy所围的区域面积时，选用____作变量较为简捷.5、由曲线xxeyey,与直线1x所围成平面区域的面积是_________.练习题6曲线2xy与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积S，其中一条切线与曲线相切于点),(2aaA，0a，则当a__时，面积S最小.二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：1、xy1与直线xy及2x；2、y2x与直线xy及xy2；3、)cos2(2ar；4、摆线)cos1(,)sin(tayttax)20(t及x轴；5、cos3r及cos1r的公共部分；6、笛卡尔叶形线axyyx333.三、求抛物线342xxy及其在点)3,0(和)0,3(处的切线所围成的图形的面积.四、求位于曲线xey下方，该曲线过原点的切线的左方以轴及x上方之间的图形的面积.五、求由抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.一、1、1；2、332；3、2；4、y；5、21ee；6、21.二、1、2ln23；2、67；3、2a；4、23a；5、45；6、223a.三、49.四、2e.五、238a.练习题答案