定积分及其应用(高数)

存在定理的概念广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba第五章定积分及其应用定积分的应用设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，(1)定积分的定义定义1.定积分的概念怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和()d0()d()dabaaabfxxfxxfxx（2），(1).定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即()d()dbbaafxxftt注意：(3)可积的必要条件：(),(),fxabfxaba.若在上连续，则在上可积。.(),(),bfxabfxab若在上有界且只有有限个间断点，则在上可积。,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba(2)定积分的几何意义(),.;.xfxxaxbxx它是介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和在轴上方的面积取正号在轴下方的面积取负号badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(性质3（区间可加性）2.定积分的性质.,,,:上结论总成立的位置如何不论补充cba则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论（比较定理或有序性）：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质4（此性质可用于估计积分值的大致范围）).()()()(,],[)(baabMdxxfabmbaxfmMba则的最大值及最小值上在区间分别是函数及设性质6:估值性质性质7（定积分中值定理）积分中值公式).())(()(,],[,],[)(baabfdxxfbabaxfba使得上至少存在一个点积分区间则在上连续在闭区间如果函数解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx.2020的大小与比较积分值dxxdxex例1例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3.证明：21224022xxeedxe证明：令2(),[0,2]xxfxex则2()21xxfxex令2()0,210xxfxex即得驻点为：12x因为1241(),(0)1,(2)2feffe所以2124xxeee从而2122224000xxedxedxedx即21224022xxeedxe.)()(xadttfx变上限的定积分函数3.变上限的定积分函数及其导数定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa变上限的定积分函数的性质说明：变上限的定积分函数对积分上限x的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为积分上限x所得到的函数，而与积分下限a无关。如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf)()()()(xbxadttfdxdxF(),()[()]()gxadftdtfgxgxdx一般地例1xttx0,de)(2已知求(x).解根据定理，得.ede)(220xxttx220(),()txedtx思考：已知求例20,d)13cos()(xttxF已知求F(x).解根据定理，得)(xF0d)13cos(xttxtt0d)13cos().13cos(x例3xttx02,d)sin()(设求(x).解(x)xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02.sin21xx例4求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则..cossin.500的导数对所给定的函数求由参数方程例xyuduyuduxtt.,cos.6023dxdytdtyxxy求设例例7设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.例8：设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明方程1)(20dttfxx在（0，1）内有且只有一个实数根.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在（0，1）内有且只有一个实数根.令()x因为F在0，1上连续，由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点00()0.xfx,使得()0Fx即在（0，1）内至少有一个根。定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式4.牛顿—莱布尼茨公式（1）直接积分法5.定积分的计算（2）凑微分法（第一类换元法）（3）变量替换法（第二类换元法）（4）分部积分法则有baxxfd)(定积分换元公式f)(tttd)(（1）定积分的换元法定理1假设函数()[,],fxab在区间上连续函数满足条件:)(tx上或在]),[](,[)(t(1)(2)具有连续导数,且其值域],,[baR;)(,)(ba定积分的分部积分公式（2）定积分的分部积分法设)(),(xvxu上在区间],[ba有连续的导数,则vud定理2uvuvd由不定积分的分部积分法abba][ab及N--L公式.bababauvuvvudd类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式（3）重要公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,],[)(上连续在当aaxf且有,)()1(为偶函数xf则aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为奇函数xf则aaxxf0d)(xxxdsin4112d4xxxxxxxd12sin552423xxd41200例2011()()fxfxdx0例xxxxdsindcos201020102200dcosdsinxxxxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数5476321658743212xxxxdcosdsin207207109三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式.d)(d)(,)(0为任何常数则的周期是连续函数如果axxfxxfxfTTaaT这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.例1设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx.6例2求解220(1)xxdx212222001(1)(1)(1)xxdxxxdxxxdx1233015()()2xxdxxxdx例3计算解.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54例4计算下列定积分.解;de1e)1(11xxx.dcos)2(462xxxxxde1e)1(11)e1(de1111xx11)e1ln(x;1e11ln)e1ln(xxdcos)2(462xxd)2cos1(214646462d2cos41d21xxx462sin416421x.834124例5解203dsinxx203dsinxx202dsinsinxxxxxcosd)cos1(20223203]cos31[cosxx解aaxxax022)0(d1令,sintaxttaxdcosd原式ttcossin20dcossinsincos121ttttt20cossinln21221tt.4ttatatad)sin1(sincos220220tcostdtsintcostsin21例6：例7计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则例8计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan240