1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析

天任启航考研年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设2lim()8xxxaxa,则a___________.(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为___________.(3)微分方程22xyyye的通解为___________.(4)函数22ln()uxyz在(1,0,1)A点处沿A点指向(3,2,2)B点方向的方向导数为___________.(5)设A是43矩阵,且A的秩()2rA,而102020103B,则()rAB___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知2()()xaydxydyxy为某函数的全微分,则a等于()(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()fx有二阶连续导数,且(0)0f,0()lim1||xfxx,则()(A)(0)f是()fx的极大值(B)(0)f是()fx的极小值(C)(0,(0))f是曲线()yfx的拐点(D)(0)f不是()fx的极值,(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点(3)设0(1,2,)nan,且1nna收敛,常数(0,)2,则级数21(1)(tan)nnnnan()(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关天任启航考研(4)设()fx有连续的导数,(0)0f,(0)0f,220()()()xFxxtftdt,且当0x时,()Fx与kx是同阶无穷小,则k等于()(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于()(A)12341234aaaabbbb(B)12341234aaaabbbb(C)12123434()()aabbaabb(D)23231414()()aabbaabb三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)求心形线(1cos)ra的全长,其中0a是常数.(2)设110x,16(1,2,)nnxxn,试证数列nx极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)计算曲面积分(2)Sxzdydzzdxdy,其中S为有向曲面22(01)zxyz,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2,uxyuxay可把方程2222260zzzxxyy化简为20zuv,求常数a,其中(,)zzxy有二阶连续的偏导数.五、(本题满分7分)求级数221(1)2nnn的和.六、(本题满分7分)设对任意0x,曲线()yfx上点(,())xfx处的切线在y轴上的截距等于01()xftdtx,求()fx的一般表达式.七、(本题满分8分)天任启航考研设()fx在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|()|fxa,|()|fxb,其中,ab都是非负常数,c是(0,1)内任一点,证明|()|22bfca.八、(本题满分6分)设TAE,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置,证明：(1)2AA的充要条件是1T；(2)当1T时,A是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程123(,,)1fxxx表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是__________.(2)设、是两个相互独立且均服从正态分布21(0,())2N的随机变量,则随机变量的数学期望()E__________.十一、(本题满分6分.)设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为13Pi,i=1,2,3,又设max(,)X,min(,)Y.(1)写出二维随机变量(,)XY的分布律：XY123123天任启航考研(2)求随机变量X的数学期望()EX.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.方法一：3323lim()lim(1)xaaxxaxaxxxaaxaxa,令3atxa,则当x时,0t,则1303lim(1)lim(1)xaatxtatexa,即33limlim312lim()xxaxaxaxaxxaeeexa.由题设有38ae,得1ln8ln23a.天任启航考研方法二：2223()2221lim112limlimlim11lim1xxaxaxaxaxxaxxxaaxaaaxaexxxeaxaeaaxxx,由题设有38ae,得1ln8ln23a.(2)【答案】2230xyz【解析】方法一：所求平面过原点O与0(6,3,2)M,其法向量06,3,2nOM；平面垂直于已知平面428xyz,它们的法向量也互相垂直：04,1,2nn；由此,00//632446412ijknOMnijk.取223nijk,则所求的平面方程为2230xyz.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M的向量06,3,2OM,另一是平面428xyz的法向量04,1,2n)平行的平面,即6320412xyz,即2230xyz.(3)【答案】12(cossin1)xecxcx【解析】微分方程22xyyye所对应的齐次微分方程的特征方程为2220rr,解之得1,21ri.故对应齐次微分方程的解为12(cossin)xyeCxCx.由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xyxae,代入22xyyye得1a(也不难直接看出*()xyxe),故所求通解为1212(cossin)(cossin1)xxxyeCxCxeeCxCx.【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设*()yx是二阶线性非齐次方程()()()yPxyQxyfx的一个特解.()Yx是与之对应的齐次方程天任启航考研()()0yPxyQxy的通解,则*()()yYxyx是非齐次方程的通解.②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Yx,可用特征方程法求解：即()()0yPxyQxy中的()Px、()Qx均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,rr；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,rr,则通解为1212;rxrxyCeCe(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCCxe(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,CC为常数.③对于求解二阶线性非齐次方程()()()yPxyQxyfx的一个特解*()yx,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmfxPxe则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmyxxQxe的特解,其中()mQx是与()mPx相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos()sin]xlnfxePxxPxx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()ypxyqxyfx的特解可设为*(1)(2)[()cos()sin]kxmmyxeRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,mln,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4)【答案】12【分析】先求方向l的方向余弦和,,uuuxyz,然后按方向导数的计算公式coscoscosuuuulxyz求出方向导数.【解析】因为l与AB同向,为求l的方向余弦,将31,20,212,2,1AB天任启航考研单位化，即得12,2,1cos,cos,cos3||ABlAB.将函数22ln()uxyz分别对,,xyz求偏导数得22(1,0,1)112Auxxyz,2222(1,0,1)0()Auyyxyzyz,2222(1,0,1)12()Auzzxyzyz,所以coscoscosAAAAuuuulxyz1221110()233232.(5)【答案】2【解析】因为102020100103B,所以矩阵B可逆,故()()2rABrA.【相关知识点】()min((),())rABrArB.若A可逆,则1()()()[()]()rABrBrEBrAABrAB.从而()()rABrB,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)uxy,使得22()()()xaydxydyduxyxy,由可微与可偏导的关系,知2()uxayxxy,2()uyyxy,天任启航考研分别对,yx求偏导数,得2243()()2()(2)()()uaxyxayxyaxayxyxyxy,232()uyyxxy.由于2uyx与2uxy连续,所以22uuyxxy,即33(2)2()()axayyxyxy2a,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()fx有二阶连续导数,且0()lim10,||xfxx所以由函数极限的局部保号性可知,在0x的空心领域内有()0||fxx,即()0fx,所以()fx为单调递增.又由(0)0f,()fx在0x由负变正,由极值的第一充分条件,0x是()fx的极小值点,即(0)f是()fx的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim().xxfxA若0A(或0A)0,当00xx时,()0fx(或()0fx).(3)【答案】