线性代数-课后作业及参考答案

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.13000120001B.10001200013C.13000100012D.120001300013.设矩阵A=312101214，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A.k≤3B.k3C.k=3D.k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。（Ａ）ＡＢＣ；（Ｂ）（Ａ＋Ｂ）Ｃ；（Ｃ）ＡＴ（Ｂ＋ＣＴ）；（Ｄ）ＢＣＡＴ。16.若方阵Ａ与方阵Ｂ等价，则（）。（Ａ）秩（Ａ）＝秩（Ｂ）；（Ｂ）det（λＥ－Ａ）＝det（λＥ－Ｂ）；（Ｃ）det（Ａ）＝det（Ｂ）；（Ｄ）存在可逆矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ。17.若４阶方阵Ａ的行列式等于零，则（）。（Ａ）Ａ中至少有一行是其余行的线性组合；（Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合；（Ｃ）Ａ中必有一行是零行；（Ｄ）Ａ的列向量组线性无关；18.若ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，则（）。（Ａ）组中增加一个向量后也线性无关；（Ｂ）组中去掉一个向量后也线性无关；（Ｃ）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出；（Ｄ）ｍ＞ｎ。19.若方程组020202321321321xxxxxxxxx存在基础解系，则λ等于（）。（Ａ）２；（Ｂ）３；（Ｃ）４；（Ｄ）５。20.若ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｒ＜ｎ，则方程组ＡＸ＝０的基础解系所含向量个数等于（）。（Ａ）ｒ；（Ｂ）ｍ－ｒ；（Ｃ）ｎ－ｒ；（Ｄ）ｒ－ｎ。21.设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解的充要条件是（）。（Ａ）方程组ＡＸ＝０只有零解；（Ｂ）Ａ的列向量组线性无关，而A的列向量组线性相关；（Ｃ）向量ｂ可由Ａ的列向量组线性表出；（Ｄ）ｍ＝ｎ。22.ｆ（ｘ）＝detxxxx102312中ｘ２项的系数是（）。（Ａ）２；（Ｂ）－２；（Ｃ）－３；（Ｄ）１。二、填空题1.11135692536.2.设A=111111，B=112234.则A+2B=.3.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.5.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.6.设A是m×n矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=.8.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.9.设矩阵A=01061332108，已知α=212是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.10.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.11.若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线性相关，则ｔ＝。12.设Ａ、Ｂ均为３阶方阵，det（Ａ）＝３，det（Ｂ）＝－２，则det（－２ＡＴＢ－１）＝。13.设Ａ＝021321，Ｂ＝414201，则ＡＢＴ＝。14.设Ａ＝103020208，A为Ａ的伴随矩阵，则det（A）＝。15.设Ａ＝235213324，Ｂ＝135223323，则Ａ２＋Ｂ２－ＡＢ－ＢＡ＝。16.ｎ元齐次线性方程组ＡＸ＝０存在非零解的充要条件是。17.矩阵Ａ＝4510702451301032的秩等于。三．计算题1.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.2.试计算行列式3112513420111533.3.设矩阵A=423110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.4.给定向量组α1=2103，α2=1324，α3=3021，α4=0149.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。5.设矩阵A=12102242662102333334.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。6.设矩阵A=022234243的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.7.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=xxxxxxxxx12223212132323444，并写出所用的满秩线性变换。8.已知矩阵Ａ满足：Ａ3152＝8001，求矩阵Ａ。9.计算aaaaa1111111111110.若向量组α１＝（１，１，２，－２），α２＝（１，－１，６，０），α３＝（１，３，－ｘ，－２ｘ）的秩为２，求ｘ的值。11.求下列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组线性表出组中其余向量：α１＝（２，１，３，１），α２＝（１，２，０，１），α３＝（－１，１，－３，０），α４＝（１，１，１，１）。12.求下列方程组的通解：13413212302432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx四、证明题1.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.2.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。3.设α１，α２，α３是齐次线性方程组ＡＸ＝０的基础解系。证明：β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α１也是ＡＸ＝０的基础解系。《线性代数》作业参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D15.C16.A17.A18.B19.D20.C21.B22.A二．填空题1.62.3371373.44.–105.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数6.n-r7.–58.–29.110.zzzz1222324211.ｔ＝６12.Ａ、Ｂ均为３阶方阵，13.6114714.１６15.Ｅ３16.秩（Ａ）＜ｎ17.2三．计算题1.解（1）ABT=120340121223410=861810310.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212.所以|4A|=64·（-2）=-1282.解311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.3.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123=3862962129.4.解一213013010224341905321301011201311210350112008800141410350112001100001002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.5.解对矩阵A施行初等行变换A1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1