数学参考答案与评分细则

高一数学参考答案第1页（共9页）2023届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号12345678答案BDCBABCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACADBCAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．114．515．1216．23四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）解答：(1)由题可得1233,7,11aaa，……2分故*34(1)41()nannnN.……4分(2)116(1)(5)nnnbaa且41nan，故1614(4415)(2)nbnnnn……5分11122nn.……7分11111111111232435112nTnnnn……8分3111342124nn.……10分高一数学参考答案第2页（共9页）18.（12分）解：（１）由条件及正弦定理可得(sinsin)cossincossincos0BCAABAC……1分即sincoscossinsincoscossin0BABACACA故sin()sin()0BACA则有sin()sin()BAAC……3分又(,),(,)BACA故有BAAC，或()()πBAAC（舍去），或()()πBAAC（舍去）.……5分则2BCA，又ABC所以π3A.……6分（２）设ACB,在ABD△和ACD△中,由正弦定理可得,2sin()sin()sin()sin3434BDADCDAD……8分2sin()sin()3sin()sin344BDCD……9分3sinsin()42sin()sin()343……10分3sin3131cossin222……11分tan963……12分19．（12分）高一数学参考答案第3页（共9页）解：（１）连接11,ABAB交于点O,连接OD……2分111ABCABC为三棱柱11ABBA为平行四边形,点O为1AB的中点又D为11BC的中点1ACOD……4分又111,ODABDACABD平面平面11ACABD平面.……6分（2）解法1：AAAABAACAABCA1111AABBCA面111AABBAB面1CAAB，2222222211ACCBAB22,2,211BBABAB121212ABABBBABAB即……7分以A为坐标原点，ACABAB,,1分别为zyx,,建立空间直角坐标系，(0,0,0)A,1(2,2,0)A,(2,0,0)B,1(0,2,0)B,1(2,2,2)C,(1,2,1)D1,0,10,2,211DAAA……8分AACABACABABAB11CABAB1面即平面CAB1的一个法向量为0,0,11n……9分高一数学参考答案第4页（共9页）设平面DAA1的法向量为zyxn,,2，则1212022000AAnxyxzADn即1,11zyx，令)1,1,1(2n……10分设平面CAB1与平面DAA1所成夹角为，1221211010(1)13cos331111nnnn……11分平面CAB1与平面DAA1所成夹角的余弦值是33.……12分解法2：设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交1BC于点Q,连接,,AEAQEF,设点P为AQ的中点,连接,EPFP.点E为BC的中点,点D为11BC的中点111=22EQBBEQBBQ且,点为1BC的中点11ACCA为矩形，1ACAA又1,ACABABAAA，11ACABBA平面……7分1ACAB1ACB在△中,11,2,22ACABACBC,可得12AB1ABC△为等腰直角三角形,其中112,22ACABBC而点Q为1BC的中点，12AQBCAQ且……8分点P为AQ的中点,点F为AC的中点QEPF高一数学参考答案第5页（共9页）11112242FPBCFPCQBC且FPAQ……9分又RtABC在△中,2ABAC,点E为BC的中点2AEAEQ在△中,2AEEQAQ，且点P为AQ的中点62EPAQEP且EPF即为平面1ABC与平面1AAD所成的夹角……10分EFP在△中,1261,,222EFABFPEP……11分2223cos23EPFPEFEPFEPFP……12分20．（12分）解：（1）由已知1(6,)2XB，……2分所以(2)(0)(1)(2)PXPXPXPX061522466611111161511()()()()2222264646432CCC；……5分（2）由已知1(,)2XBn，所以()0.5EXn，()0.25DXn，……7分若0.40.6Xn，则0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn，高一数学参考答案第6页（共9页）即0.50.1Xnn.……8分由切比雪夫不等式20.2510.5(0.10).1nnnPXn，……10分要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)nn，解得1250n，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.……12分21．（12分）解：（1）令1122(,),(,)AxyBxy，22yx，2yx，1yy，11PAky1111:()PAlyyxxy……2分又(1,2)P1111111:2(1)(1)2PAlyxyxy……3分1112111(1)2622yxyyx……4分同理可得226y.……5分12121226,2()46yyxxyy，22221212||()()(46)(26)230ABxxyy.……6分（2）令33(,)Cxy，由条件知1230yyy.……7分1sin2(1)(1)1sin2ABCBMNABBCABCSABBCAMCNSBMBNBMBNBMBNABC△△……8分高一数学参考答案第7页（共9页）31313122222(1)(1)1yyyyyyyyyy213112112222222()222yyyyyyyyyyy2211122219224yyyyyy……10分4||3||AMBM，12||3||4yAMBMy12304yy……11分当1212yy时,ABCBMNSS△△取得最大值94.……12分22．（12分）解：（1）证明：（1）1()xefxx的定义域为(,0)(0,)………1分121()xxefxx，令()0fx，得：1x，………2分当x变化时()()fxfx，的关系如下表：x(,0)0(0,1)1(1,)()fx\0()fx()fx在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增.………4分（2）证明：要证ln2abab，只需证：lnln2abba高一数学参考答案第8页（共9页）根据lnlnabba，只需证：ln1ba………6分不妨设ab，由lnlnabba得：lnlnaabb；两边取指数，lnlnaabbee，化简得：abeeab………7分令：(),()()xegxgagbx则，1()()xeegxefxx,根据（1）得()gx在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使()()gagb且ab，则必有01,1ab，即01ab由01ab得：1,1ln1ba.………8分要证ln1ba，只需证：1lnba，由于()gx在(1,)上单调递增，要证：1lnba,只需证：()(1ln)gbga，…………9分又()()gagb，只需证：()(1ln)gaga，…………10分高一数学参考答案第9页（共9页）只需证：1ln1ln1lnaaeeeaaaa，只需证：1lnaeae，只需证：1ln1aaee，只需证：1ln10aaee，即证1ln0aaee，令1ln(),(01)xxxexe，(1)0，1ln()aaaee只需证：()0,(01)xx，111()xxxxeexxeexexeexe，令(),xhxeex(1)0,()0,(01)xhhxeex，()(0,1)hx在上单调递减，所以()10hxh，所以()0xxeexxexe所以()(0,1)x在上单调递减，所以()10x所以()0a所以：ln2abab.……12分