南京市2023届高三年级学情调研数学试卷（解析版）

下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君南京市2023届高三年级学情调研数学2022.09一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．设集合𝐴={𝑥|𝑥2+𝑥−60}，𝐵={𝑥|𝑥+10}，则A∩B=（）A.(—3，—1)B.(—1，2)C.(2，＋∞)D.(—3，＋∞)[答案]B[解析]𝐴=(−3,2),𝐵=(−1,+∞),所以𝐴∩𝐵=(−1,2)，故选B2.已知复数𝑧=(2+ⅈ)ⅈ，其中ⅈ为叙述单位，则𝑧𝑧̅的值为（）A.√3B.√5C.3D.5[答案]D3.已知随机变量𝑋~𝑁(4,22)，则𝑃(8𝑥10)的值约为（）A.0.0215B.0.1359C.0.8186D.0.9760附：若𝑌~𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑝(𝜇−𝜎𝑌𝜇+𝜎)≈0.6827，𝑝(𝜇−2𝜎𝑌𝜇+2𝜎)≈0.9545，𝑝(𝜇−3𝜎𝑌𝜇+3𝜎)≈0.9947[答案]D4.若直线𝑥+𝑦+𝑎=0与曲线𝑦=𝑥−2𝑙𝑛𝑥相切，则实数𝑎的值为（）A.0B.−1C.−2D.−3[答案]C[解析]直线斜率为−1，令𝑦′=1−2𝑥=−1,所以𝑥=1，则切点为(1,1)，切线方程为𝑦=−(𝑥−1)+1，所以𝑎=−2，故选C5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为𝑦=𝑠ⅈ𝑛(𝜔𝑡+𝜑)(𝜔0,(𝜑)𝜋)，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0t1t2t3)，且t1+t2=2，t2+t3=6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）A.13𝑠B.23𝑠C.1𝑠D.43𝑠[答案]D[解析]𝑡3−𝑡1=4=𝑇=2𝜋𝜔，则𝜔=𝜋2，因此𝜋6𝜋2𝑡+𝜑5𝜋6，13−2𝜋𝜑𝑡53−2𝜋𝜑，(53−2𝜋𝜑)−(13−2𝜋𝜑)=43，故选D6.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左右焦点分别𝐹1,𝐹2，左顶点为A，上定点为B，点P为椭圆上一点，且𝑃𝐹2⊥𝐹1𝐹2，若AB//P𝐹1，则椭圆的离心率为（）A.√55B.12C.√33D.√22[答案]A[解析]𝑃(𝑐,𝑏2𝑎)，所以𝐾=𝑏22𝑎𝑐=𝑏𝑎，则𝑏=2𝑐，所以ⅇ=√55，故选A。7.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（）A.2516𝜋B.254𝜋C.52𝜋D.5𝜋[答案]B[解析]设外接球半径为R，地面圆心为Q，外接球球心为O，则𝑂𝐴2=𝑂𝑄2+1,𝑟2=1+(2−𝑟)2，所以𝑟=54,𝑠=4𝜋𝑟2=25𝜋4；故选B。8.已知函数𝑓(𝑥)，任意𝑥,𝑦∈𝑅，满足𝑓(𝑥+𝑦)𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓2(𝑥)−𝑓2(𝑦)，且𝑓(1)=2,𝑓(2)=0，则𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(90)的值为（）A.−2B.0C.2D.4[答案]C[解析]令𝑦=2，则𝑓(𝑥+2)𝑓(𝑥−2)=𝑓2(𝑥)−𝑓2(2)=𝑓2(𝑥)，令𝑥=2,𝑦=1，则𝑓(3)𝑓(1)=𝑓2(2)−𝑓(1)2，所以𝑓(3)=−2。令𝑥=𝑦=12，则𝑓(1)𝑓(0)=0，所以𝑓(0)=0,𝑓(2𝑛)=0，所以原式=𝑓(1)+𝑓(3)+𝑓(𝑠−)+⋯+𝑓(89)=2；故选C。二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.已知𝑙,𝑚是两条不同的直线，𝛼,𝛽是两个不同的平面，则下列选项中，𝑙⊥𝑚的充分条件有（）A.𝛼⊥𝛽,𝑙⊥𝛼，𝑚//𝛽，B.𝛼//𝛽,𝑙//𝛼，𝑚⊥𝛽C.𝛼⊥𝛽,𝑙⊥𝛼，𝑚⊥𝛽D.𝛼⊥𝛽,𝑙//𝛼，𝑚//𝛽[答案]BC[解析]A：错误；B：m是𝛽的一个法向量，而𝛼//𝛽，所以m是𝛼的一个法向量，又因为𝑙//𝛼，所以𝑙⊥𝑚，B正确；C：𝑙是𝛼的一个法向量，m是𝛽的一个法向量，又因为𝛼⊥𝛽，所以𝑙⊥𝑚；C正确；D：错误；故选BC。10.已知𝑎𝑏0，则（）A.1𝑏1𝑎B.𝑎−1𝑏𝑏−1𝑎C.𝑎3−𝑏32(𝑎2𝑏−𝑎𝑏2)D.√𝑎+1−√𝑏+1√𝑎−√𝑏[答案]AC[解析]A：正确；B:𝑎−1𝑏𝑏−1𝑎⇒𝑎+1𝑎𝑏+1𝑏无法判断；所以B错误；C：𝑎3−𝑏32(𝑎2𝑏−𝑎𝑏2)⇒(𝑎−𝑏)(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)2𝑎𝑏(𝑎−𝑏)，所以得到𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏0，所以C正确；D.√𝑎+1−√𝑏+1√𝑎−√𝑏⇒√𝑎+1−√𝑎√𝑏+1−√𝑏，所以1√𝑎+1+√𝑎1√𝑏+1+√𝑏，所以D错误；故选AC。11.已知直线𝑙:𝑥+1=0，点𝑃(1,0)，圆心为M的动圆经过点P，且与直线𝑙相切，则（）A.点M的轨迹为抛物线B.圆M面积最小值为4𝜋C.当圆M被y轴截得的弦长为2√5时，圆M的半径为3；D.存在点M，使得𝑀0𝑀𝑃=2√33，其中O为坐标原点[答案]ACD[解析]A：由题意可知，M到点P与直线𝑙的距离相等，且点P不在直线𝑙上，所以A正确；B：当M为原点时，圆M的面积最小值为𝜋，所以B错误；C：M的轨迹方程为𝑦2=4𝑥，弦长=2√𝑟2−𝑥2=2√𝛾2−(𝑟−1)2=2√2𝑟−1=2√5，所以𝑟=3，C正确；D：𝑀02𝑀𝑝2=𝑥+𝑦22(𝑥+1)2=𝑥2+4𝑥(𝑥+1)2=43，所以𝑥2−4𝑥+4=0，所以x=2;所以D正确；故选ACD。12.已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥−2𝑥,𝑥∈𝑅，则（）A.𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增B.存在𝑎∈𝑅，使得函数𝑦=𝑓(𝑥)𝑎𝑥为奇函数C.函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥有且仅有2个零点D.任意𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)−1[答案]ABD[解析]A：𝑓(𝑥)=2𝑥[(32)𝑥−1]，所以A正确；B：令𝑎=√6，则𝑦=(√62)𝑥−(2√6)𝑥，显然为奇函数，B正确C：𝑥=0时，𝑔(𝑥)=0，𝑥0时，𝑔(𝑥)0，𝑥0时，𝑔(𝑥)0，所以𝑔(𝑥)只有1个零点，C错误；D：𝑥0时，𝑓(𝑥)0；𝑥=0时，𝑓(𝑥)=0；𝑥0时，𝑓(𝑥)−2𝑥−1；D正确；故选ABD三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.(1−1𝑥2)(1+𝑥)6的展开式中𝑥3的系数为__________[答案]14[解析]𝑇=𝐶63−𝐶65=1414.双曲线𝑥2−𝑦24=1右焦点为F，点P,Q在双曲线上，且关于原点对称.若PF⊥QF,则△PQF的面积为______________.[答案]4[解析]易知：𝐹=(√5,0)，𝑝𝑄=2𝑂𝐹=2√5，|𝑃𝐹−𝑄𝐹|=2，𝑃𝐹2+𝑄𝐹2=𝑃𝑄2=20，所以𝑝𝐹⋅𝑄𝐹=8，所以𝑆=12𝑃𝐹⋅𝑄𝐹=415.如图是构造无理数的一种方法:线段OA1=1;第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2=1;第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3=1;第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4=1;...，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2,OA3,...则𝑂𝐴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=____________.[答案]2−√63[解析]易知：𝑐𝑜𝑠∠𝐴2𝑂𝐴3=√63，𝑠ⅈ𝑛∠𝐴2𝑂𝐴3=√33，𝑐𝑜𝑠∠𝐴3𝑂𝐴4=√32，𝑠ⅈ𝑛∠𝐴3𝑂𝐴4=12，所以𝑐𝑜𝑠∠𝐴2𝑂𝐴4=√22−√36，所以𝑂𝐴2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2−√6316.若函数𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑠ⅈ𝑛𝑥−𝑎在(−𝜋,𝜋)上存在唯一的零点𝑥1，函数𝑔(𝑥)=𝑥2+𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑎𝑥+𝑎在(−𝜋,𝜋)上存在唯一的零点𝑥2，且𝑥1𝑥2，则实数𝑎的取值范围为_____________.[答案](−2𝜋,1+𝜋][解析]因为𝑓′(𝑥)=2−𝑐𝑜𝑠𝑥0，所以𝑓(𝑥)单调递增，所以𝑓(−𝜋)0𝑓(𝜋)，所以−2𝜋−𝑎02𝜋−𝑎，所以−2𝜋𝑎2𝜋；又因为𝑔(𝑥)′=2𝑥−𝑠ⅈ𝑛𝑥−𝑎=𝑓(𝑥)，且𝑥1𝑥2，所以𝑥∈(−𝜋,𝑥1)，𝑓′(𝑥)0，𝑥∈(𝑥1,𝜋)时，𝑓′(𝑥)0，所以𝑔(−𝜋)=𝜋2−1+𝑎(𝜋+1)≤0，且𝑔(𝜋)=𝜋2−1+𝑎(𝜋−1)0，所以𝑎≤1−𝜋；所以𝑎𝜖(−2𝜋,1+𝜋]四、解答题:本大题共6小题，共70分.请在答题-卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在平面四边形ABCD中，∠ABD=45°，AB=6，AD=3√2，对角线AC与BD交于点E，且AE=EC,DE=2BE.(1)求BD的长;(2)求cos∠ADC的值.[答案]3√2；−35[解析]（1）△ABD中，𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐷，解得𝐵𝐷=3√2；（2）可知：𝐵𝐷2+𝐴𝐷2=𝐴𝐵2，所以∠𝐴𝐷𝐵=90°；又𝐷𝐸=2𝐵𝐸，所以𝐷𝐸=2√2△AED中，𝐴𝐸2=𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=26，所以𝐴𝐸=√26所以𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐸𝐷=𝐸𝐷𝐴𝐸=2√13，所以𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐸𝐶=−2√13，所以𝑠ⅈ𝑛∠𝐷𝐸𝐶=3√13；△CED中，由余弦定理可得𝐶𝐷=5√2，再由正弦定理得：𝑠ⅈ𝑛∠𝐸𝐷𝐶=35所以𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐶=−𝑠ⅈ𝑛∠𝐷𝐸𝐶=−3518.(本小题满分12分)已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=6,𝑎2=12,𝑎3=20，且数列{𝑎𝑛+1−𝑎𝑛}为等差数列，n∈N*.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;(2)设数列{1𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，证明:𝑆𝑛12[答案]𝑛2+3𝑛+2；见解析[解析](1)𝑎2−𝑎1=6，𝑎3−𝑎2=8，所以𝑛≥2时，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=6+2(𝑛−2)=2𝑛+2，所以𝑎𝑛=𝑎1+(𝑎2−𝑎1)+⋯+(𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2)+(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)=𝑛2+3𝑛+2=(𝑛+2)(𝑛+1)（2）1𝑎𝑛=1𝑛+1−1𝑛+2，所以𝑆𝑛=12−13+13−14+⋯+1𝑛→1−1𝑛+2=12−1𝑛+21219.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,M为PC中点.(1)求证:PA//平面MBD;(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值.[答案]见解析；2√67[解析]（