天津市南开中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试卷

天津市南开中学2023届高三第三次月考一、选择题1．设i为虚数单位，则复数21iz=+的虚部是（）A．i-B．1-C．iD．12．集合{}2|4Axx=，{}|51Bxx=-，则()RABð=（）A．{}|52xx--B．{}|22xx-C．{}|21xx-D．{}|21xx-?3．已知直线()1:120laxay-+=，()()2:22110laxay-+++=，则1a=是12//ll的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．623xx骣琪-琪桫展开式中的常数项是（）A．135-B．135C．1215D．1215-5．已知2log3a=，0.42b=，1313c-骣琪=琪桫，则,,abc的大小关系是A．bacB．acbC．abcD．bca6．将函数()2sin23fxx骣琪=-琪桫的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再向左平移6个单位，得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是（）A．()gx的图象关于点7,024骣琪琪桫对称B．()gx的图象关于直线6x=对称C．()gx过点,28骣琪琪桫D．()gx在区间0,24骣琪琪桫上单调递增7．设抛物线C：22ypx（0p）的焦点为F，C上一点B，满足直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在,FM之间，若2FBBM，且点B到抛物线准线的距离为43，则点M的纵坐标为（）A．1B．2C．32D．38．已知双曲线H：222210,0xyabab的右焦点为F，关于原点对称的两点,AB分别在双曲线的左．右两支上，0AFFB，32BFFC，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．2B．375C．102D．2339．已知函数3,42,4,26.6xxxfxxxx若方程20fxax有5个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．21,43B．11,34C．12,34D．21,43二、填空题10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则1533P______12．等差数列na中，31a，5672aaa，则数列cosπna的前2023项和为___________.13．已知,ab都是正数，则222ababab+++的最小值是___________14．已知圆C的圆心为()2,1C，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线:420lxy-+=与C交于,AB两点，120ACB?，则实数=__________15．如图，在ABC中，,23BAB==，点M满足13AMAC=，43BMAC?，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则OAON×的最小值是______三、解答题16．在ABC，中，记角A，B，C的对边分别为,,abc，已知cos3sinacCCb(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且4,27,6ADBDAB===，求ABC的面积.OMCBA17．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，,,3ABBCADBCAD∥，2,1,3PABCABPB====．(1)．求证：PB^平面ABCD；(2)．求平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值；(3)．若点E在棱PA上，且//BE平面PCD，求线段BE的长.18．已知椭圆C中心在原点，右焦点()2,0F，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆左右顶点分别为1A和2A，B为椭圆位于第二象限的一点，在y轴上存在一点N，满足BFNF^，设12AAB和1AFN的面积分别为1S和2S，当12:3:2SS=时，求直线1AB的斜率.19．已知公差不为零的等差数列na，{}nb为等比数列，且满足11ab=，442ba=，2352bba+=+，248,,aaa成等比数列.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nnab的前n项和为nT，若不等式*942nnnTnN恒成立，求实数的取值范围．20．已知函数esinxfxkx.（1）．当1k=，0,2x骣琪Î琪桫时，求()fx的单调区间；（2）．若()fx在区间0,2内存在极值点.①．求实数k的取值范围；②．求证：()fx在区间0,内存在唯一的，使 1f，并比较与 2的大小，说明理由.一、选择题BDABCDDBA二、填空题10、3011、4712、1213、4213-14、1-或11-15、2936-三、解答题16、（1）因为cos3sinacCCb，由正弦定理可得sincos3sinsinsinsinBCBCAC，因为πABC，所以sinsinsincoscossinABCBCBC，所以3sinsincossinsinBCBCC，因为0πC，则sin0C，所以3sincos1BB，即3sincos1BB，故π2sin16B，又0πB，所以ππ66B，故π3B.（2）在ABD中由余弦定理可得，2221cos22ABADBDAABAD，0πA，60A=ABC是等边三角形，所以113sin6693222ABCSABBCB，即ABC的面积是93．17．(1)．略（2）解：在PAB△中，因为2,3,1PAPBAB，所以222PAABPB，所以PBAB．所以，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．所以(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),(1,3,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,2,3)ABCDPCDPC，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n．设平面PCD的一个法向量为(,,)mxyz，则=0=0mCDmPC，即=2=3xyyz，令=2z，则(3,3,2)m．则210cos,5||||334nmnmnm，即平面PCD与平面ABCD夹角的余弦值为105．（3）解：因为点E在棱PA，所以,[0,1]AEAP．因为(1,0,3)AP．所以(,0,3),(1,0,3)AEBEBAAE．又因为BE∥平面PCD，m为平面PCD的一个法向量，所以0BEm，即3(1)+23=0，所以13．所以23,0,33BE，所以7||3BEBE18．（1）椭圆方程2211612xy+=（2）设直线1AB的方程为4xmy=-，显然0m，联立2243448xmyxyì=-ïí+=ïî()223424mymy?=，所以2222224241216,4343434BBmmmyxmmm-==-=+++，所以22222443412164234BFmmmkmmm+==---+，设()0,Nu，所以2244422mumumm--=?-，根据题意，12:3:2SS=24222424423628910448023493mmmmmmmm-薮?创?-=??+，所以所求直线斜率为3219．(1)．2,2nnnanb==(2)．∵1222nnnnannb＝＝，则23123412222nnnT＝＋＋＋＋＋，23111231222222nnnnnT＝＋＋＋＋＋，2311111111221212222222212nnnnnnnnnT＋＝＋＋＋＋＋＝＝，1242nnnT＋＝，*942nnnTnN恒成立，则192544222nnnnnn＋＋＋＝恒成立，令52nnfn＝，则114561222nnnnnnfnfn＋＋＋＋＝＝，12678fffff＜＜＜＝＞＞，1()6764maxfnff＝＝＝，164，故实数的取值范围是164，+20．(1)．()'cos,0,2exfxxx骣琪=-?琪桫，()''sin0exfxx=+，所以()'fx在0,2骣琪琪桫()()''00fxf=，所以()fx在0,2骣琪琪桫单调递增（2）．①()ecosxfxkx，又()0f，则ecosk且π(0,)2，∴2e(cossin)0cosk，即k在π(0,)2上递增，故1k，当1k时，在(0,)2x上()esin0xfxkx，即()fx递增，又(0)10fk，()e0fk，∴(0,)上()0fx，(,)2上()0fx，则()fx在(0,)上递减，在(,)2上递增，∴()fx在处取极小值，符合题设.∴1k.②要证在0,内存在唯一的使1f，只需证()esin1xgxkx在0,上有唯一零点，∴()ecosxgxkx，由（1）知：()gx在(0,)上递减，在(,)2上递增，又[,)2x时，()ecos0xgxkx，即()gx在[,)2上递增，综上，()gx在(0,)上递减，在(,)上递增，而(0)0()gg，()e10g，∴()gx在(0,)无零点，在(,)上存在一个零点，故存在唯一0,使()0g.由①知：ecos1k，∴22(2)esin21e2sine1e(e2sin)1gk，令2e2si()ne1xxhxx且(0,)2x，则e[e(cossin)2]'()xxxhxx，令e(cossin)xyxx，则显然esincos0xyxx，则y递增，∴0y，即'()0hx，故()hx在(0,)2x上递增，则00hxh，∴在π(0,)2有(2)0g，即有(2)()0gg，又()gx在(,)上递增且2，∴2.