河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期第一次阶段性考试数学（理）试题

高三第一次阶段考试理数1南阳一中2023届高三第一次阶段性考试理数试题考试时间：2022.8.5一、单选题(共60分)1．下列求导的运算中，正确的是（）A．2ln1lnxxxxB．1ln2121xxC．32e3exxxxD．2cos2sinxxxx2．某项运动，得到下表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110附表：2pKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd参照附表，得到的正确结论是（）A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”3．方程3333mmmmxy（m为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的左支C．双曲线的右支D．圆4．在极坐标系中，点3,6到直线sin13的距离为（）A．2B．1C．3D．31高三第一次阶段考试理数25．在以O为极点的极坐标系中，圆8cos和直线cosa相交于,AB两点.若OAB是等边三角形，则a的值等于（）A．5B．112C．6D．1326．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）A．128B．110C．19D．277．已知不等式22ln0axx恒成立，则a的取值范围为（）A．21,eB．22,eC．210,eD．220,e8．已知函数yfx的导函数yfx的图象如图所示，那么（）A．函数yfx在1,2上不单调B．函数yfx在1x的切线的斜率为0C．1x是函数yfx的极小值点D．2x是函数yfx的极大值点9．函数3log2afxxax（a0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．1a≤4B．1a≤8C．1a≤12D．1a≤2410．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，()2.4DX，且，则()EX（）A．6B．5C．4D．311．已知函数33fxxxa，211xgxx．若对任意12,2x，总存在22,3x，使得12fxgx成立，则实数a的最大值为（）A．7B．5C．72D．312．已知函数()fx的导函数为()fx，对任意的实数x都有()2()()xfxxaefx，且f(0)=1，若()fx在(1,1)上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．3,4B．3,4C．(0,1)D．(0,1]二、填空题(共20分)高三第一次阶段考试理数313．极坐标系中，过点π2,3且与极轴垂直的直线方程（极坐标方程）为________．14．直线3sin30cos30xtyt（t为参数）的倾斜角是15．在平面直角坐标系中,为原点,动点满足CD=1，则OAOBOD的最大值是_________.16．已知三次函数321()3fxaxbxxc无极值，且满足2168ab，则22ab______.三、解答题(共70分)17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31,545xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为212sinsin02，直线l与x，y轴的交点分别为A，B．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若点M是曲线C上异于A，B的一点，求MAB△的面积的最大值．18．曲线1:Ccossinxy经过伸缩变换22xxyy后得到曲线2C；以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线2C的极坐标方程；(2)若A，B分别为曲线2C上的两点，且OAOB，求2211||||OAOB的值.19．已知函数2()2(1)exfxaxx（其中,eaR为自然对数的底数）．(1)若1a，求曲线()yfx在1x处的切线方程；(2)若()fx在(0,)内取得极小值-1，求a的值．高三第一次阶段考试理数420．已知直线l的参数方程为21,222xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2223sin4．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为(1,0)，求||||MPMQ．21．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布．(1)已知如下结论：若2,XN，从X的取值中随机抽取*,2kkNk个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量2(,)YNk．利用该结论解决下面问题．（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求980PY；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在950,1050上，并经计算25个面包质量的平均值为978.72g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；(2)假设有甲，乙两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知甲箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；乙箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．已知从甲箱抽取面包的概率为13，从乙箱抽取面包的概率为23，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望．附：①随机变量服从正态分布2,N，则0.6827P，220.9545,330.9973PP；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．22．已知函数ln42Rfxaxxa．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若fx有极值点14，且关于x的不等式262fxxkx恒成立，求整数k的最小值．理数答案1南阳一中高三年级第一次阶段性考试理数答案及考后整理卷理数答案部分一、选择题1--5．ACCAC6--10．DBDBA11--12．DC.二、填空题13．cos113.12015．1716．12三、解答题17．（1）由31,545xtyt（t为参数）消去参数t得4340xy，即为直线l的普通方程．由212sinsin02，得2cossin，因为cosx，siny，222xy，所以220xyxy，即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）知曲线C的平面直角坐标方程为220xyxy，配方得22111222xy，设1212cos,sin2222M，对4340xy，令0x得43y；令0y得1x，所以1,0A，40,3B，所以53AB，则M到直线AB的距离332521222cossin4sin222255d，当sin1（其中4tan3）时，d取最大值52152122510．故此时MAB△的面积最大值为1155215212231012ABd.18．(1)曲线1C：cossinxy的普通方程为221xy，经过伸缩变换22xxyy后得到曲线222:142xyC，理数答案2由cos,sinxy，代入化简，可得极坐标方程为2241sin.(2)设1,()A，由OAOB，可得2(,)2B，∴222222121+sin()11111+sin2=44OAOB34，即22113||||4OAOB.19．(1)由2()2(1)exfxaxx可得22e2e1xxfxaxxax，当1a时，(1)1f，12(e1)f，所以曲线()yfx在1x处的切线方程为12(e1)1yx，即2(e1)2e1yx(2)由（1）2e1xfxxa，当0a时，e10xa，当0x时，()0fx，()fx在(0,)上单调递减，故在(0,)内不存在极值；当0a时，由()0fx得，10x，21lnxa，要使()fx在(0,)内存在极小值，1ln0a，解得01a，此时()fx在10,lna上单调递减，在1ln,a上单调递增，所以()fx取得极小值2111ln2ln1ln1faaa，即2211lnln10aa，解得1ln1a，1ea．20．(1)由21,222xtyt（t为参数），可得l的普通方程为10xy；由曲线C的极坐标方程2223sin4及222,,xysiny可得22234xyy，理数答案3整理得2214xy，所以曲线C的直角坐标方程为2214xy．(2)易知点M在直线l上，将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得222214422tt，即252260tt，设P，Q对应的参数分别为12,tt，则1212226,55tttt，因为120tt，所以221212122268244555MPMQtttttt．21.(1)（i）因为25010025，所以21000,10YN，因为220.9545P所以10.954520.022752P，因为9801000210，所以98020.02275PYPY；（ii）由第一问知98020.02275PYPY，庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g，978.72980，而0.022750.05，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由(2)设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2，则143254390365387105p；124235337122365387630p，121232592365387630p，故分布列为：012p3910533763059630其中数学期望393375991630012105616023E22．(1)解：因为ln42fxaxx定义域为0,，所以44aaxfxxx，当0a时，0fx恒成立，所以fx在0,上单调递减；理数答案4当0a时，令0fx，得04ax，令0fx，得4ax，所以fx在0,4a上单调递增，在,4a上单调递减．(2)解：由（1）可知，若f