一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法高中数学高一年级必修五第三章第二节学习目标学习目标:理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。学法指导：发现、讨论法；数形结合。”的观念。掌握一元二次不等式的解法及步骤。学习重点、难点：一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。[提出问题]观察下列不等式：(1)x20；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋60.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如ax2＋bx＋c0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.[导入新知]1．一元二次不等式我们把只含有未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．一个最高次数是22．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的，叫做这个一元二次不等式的，其解的，称为这个一元二次不等式的.[化解疑难]1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.x的值解解集集合2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.[提出问题]已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标问题2：一元二次方程根是什么？提示：(0,0)、(2,0)提示：x1＝0，x2＝2.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？提示：交点的横坐标为方程的根．提示：x＞2或x＜0.提示：能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．[导入新知]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c0(a0)的解集Rax2＋bx＋c0(a0)的解集∅∅或xx2}x|xx1x|x≠－b2ax|x1xx2[化解疑难]一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．[例1]解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－814≥0；(4)－12x2＋3x－5＞0；(5)－2x2＋3x－2＜0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－12，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为x|x＝94.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.[类题通法]解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．[活学活用]1．解下列不等式：(1)x2－5x－60；(2)－x2＋7x6.(3)(2－x)(x＋3)0；(4)4(2x2－2x＋1)x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x－1或x6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋60.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1x6}．(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x－3或x2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋44x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋40.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠23}.[例2]解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．[类题通法]解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[活学活用]2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．解：原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，当a＝0时，x＜1，当a＞0时x＋1a(x－1)＜0∴－1a＜x＜1.当a＝－1时，x≠1，当－1＜a＜0时，x＋1a(x－1)＞0，∴x＞－1a或x＜1.当a＜－1时，－1a＜1，∴x＞1或x＜－1a，综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x|x＜1}；当a＞0时，x|－1a＜x＜1；当a＝－1时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0时，x|x＜1或x＞－1a.当a＜－1时，x|x＜－1a或x＞1，[例3]已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜12或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集为－∞，12∪(1，＋∞)．[类题通法]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[活学活用]3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得－12＋2＝－ba，－12×2＝2a.解得a＝－2，b＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，即2x2－3x＋1＜0，解得12＜x＜1.∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|12＜x＜1}．5.有关三个“二次”关系的不等式的解法[典例]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x|x＜－2或x＞－12，求ax2－bx＋c＞0的解集．[活学活用]已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为x|－12＜x＜13，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．解：因为x2＋px＋q＜0的解集为x|－12＜x＜13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．[随堂即时演练]1．不等式x(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞0}B．{x|x＜2}C．{x|x＞2或x＜0}D．{x|0＜x＜2}解析：原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.答案：D2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．答案：A3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3答案：(1,3)解析：由题意可知－12，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得－12＋2＝－ba，－12×2＝2a，解得a＝－2，b＝3.答案：－234．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x|－12＜x＜2，则实数a＝________，实数b＝________.5．解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2＞2(x－1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？2．判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响？[例1]解下列不等式(1)x＋21－x0；(2)x＋1x－2≤2.[解](1)由x＋21－x0，得x＋2x－10，此不等式等价于(x＋2)(x－1)0，∴原不等式的解集为{x|x－2或x1}．(2)法一：移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简有－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，它的同解不等式为x－2x－5≥0，x－2≠0，∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．法二：原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于x－5≥0，x－20①或x－5≤0，x－20，②解①得x≥5，解②得x2，∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．[类题通法]1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零