三角形全等之截长补短-(整理)

1三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．二、精讲精练1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．21DCBA21DCBA21DCBAEDCBA23.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．FEDCBA34.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．OEDCBAFEDCBA45.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE21BD．OEDCBAEDCBAEDCBA5【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE∵BE=BD∴∠E=∠BDE∴∠ABD=2∠E∵∠ABD=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中E21DCBA6FABCD1212ECADAD∴△ADE≌△ADC（AAS）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB＋BD截长法：证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．在△ABD和△AFD中12ABAFADAD∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B=∠AFD，BD=FD∵∠B=2∠C∴∠AFD=2∠C∵∠AFD是△DFC的一个外角∴∠AFD=∠C+∠FDC∴∠FDC=∠C∴DF=FC∴BD=FC∴AC=AF+FC=AB+BD2.证明：如图，在CD上截取CF=CB．∵CE平分∠CBD∴∠1=∠2在△CFE和△CBE中12CFCBCECE∴△CFE≌△CBE（SAS）∴∠CFE=∠B∵∠B=90°∴∠CFE=∠DFE=90°∵∠A=90°∴∠DFE=∠A∵DE平分∠ADC4321FEDCBA7321GCDBAEF87654321FOCDBEA∴∠3=∠4在△DEF和△DEA中34DFEADEDE∴△DEF≌△DEA（AAS）∴DF=AD∴CD=DF+CF=AD+BC3.证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．∵∠D=∠ABC=90°∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADE中AB=ADABG=DBG=DE∴△ABG≌△ADE（SAS）∴AG=AE，∠1=∠2∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠2+∠3=45°∴∠1+∠3=45°即∠GAF=45°∴∠GAF=∠EAF在△AGF和△AEF中AGAEGAFEAFAFAF∴△AGF≌△AEF（SAS）∴GF=EF∵GF=BF+BG∴EF=BF+DE4.证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD，CE为△ABC的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4在△AEO和△AFO中12AEAFAOAO854321FEDCBA∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠5=∠6∵∠ABC=60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B=18060=120∴∠2+∠3=60∴∠AOC=180°60=120°∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°在△OFC和△ODC中8734OCOC∠∠∠∠∴△OFC≌△ODC（ASA）∴CF=CD∴AC=AF+FC=AE+CD5.证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F．∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90°∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°∵∠3=∠4∴∠1=∠5在△BAD和△CAF中15ABACBADCAF∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分∠ABC∴∠1=∠2在△BEF和△BEC中12BEBEBEFBEC∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC9∴CE=12CF∴CE=12BD三角形全等之截长补短每日一题1.（4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．2.（4月29日）如图，在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．求证：ABACPBPC．DCBA21PDCBA103.（4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．4.（5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．求证：AE=BE+DF．【参考答案】1.证明：如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AE．21NPDCBAFEDCBA11E21ABCD∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADE=90°在△ABD和△AED中ADADADBADEDBDE∴△ABD≌△AED（SAS）∴∠B=∠1，AB=AE∵∠B=2∠C∴∠1=2∠C∵∠1是△AEC的一个外角∴∠1=∠C+∠2∴∠C=∠2∴AE=CE∴CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）2.证明：如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE．EABCDP12则ABAC=ABAE=EB在△AEP和△ACP中12AEACAPAP∴△AEP≌△ACP（SAS）∴PE=PC12在△PEB中，PBPEEB∴PBPCEB∴ABACPBPC（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）3.证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．43E21NPDCBA在△ABP和△EBP中12BABEBPBP∴△ABP≌△EBP（SAS）∴∠A=∠3∵∠A+∠C=180°，∠3+∠4=180°∴∠4=∠C∵PD⊥BC∴∠PDE=∠PDC=90°在△PDE和△PDC中4CPDEPDCPDPD∴△PDE≌△PDC（AAS）∴DE=DC∴BD=BE+ED=AB+CD（过点P作PF⊥BA于F，也可进行证明）4.证明：如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG．54321GFEDCBA13∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADF中ABADABGADFBGDF∴△ABG≌△ADF（SAS）∴∠1=∠2，∠5=∠G∵AF平分∠DAE∴∠1=∠3∵∠1+∠5=90°∴∠3+∠G=90°∵∠1+∠3+∠4=90°∴∠2+∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=∠G∴AE=EG∵EG=BE+BG∴AE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．DCBA14【参考答案】1.证明略提示：在BC上截取BE=AB，证明△ABD≌△EBD，再证明CE=AD．三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．ABCDABCDABCD152.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．CDBAECDBAE163.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．BEADCBEADC174.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：CF=AB+AF．ADECFBADECFB1887654321MADECFB【参考答案】1.证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC．2.证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明BE=FE．3.证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．4.截长法：证明：如图，在CF上截取CM=BA，连接DM．∵△BDC为等腰直角三角形，BD=CD∴∠1=∠DCB=45°∵CE⊥AB，∠BDC=90°∴∠CEB=∠BDC=90°∵∠2=∠3∴∠4=∠5在△ABD和△MCD中45ABMCBDCD∴△ABD≌△MCD（SAS）∴DA=DM，∠6=∠7∵AD∥BC∴∠7=∠1=45°∴∠6=45°∴∠8=45°∴∠7=∠8在△ADF和△MDF中78DADMDFDF∴△ADF≌△MDF（SAS）∴AF=MF∴CF=CM+MF19=AB+AF补短法：证明：如图，延长BA交CD的延长线于点G．∵△BDC为等腰直角三角形∴∠GDB=∠BDC=90°，∠5=45°∵CE⊥AB∴∠CEB=∠BDC=90°∵∠1=∠2∴∠3=∠4在△GBD和△FCD中34GDBFDCDBDC∴△GBD≌△FCD（ASA）∴BG=CF，DG=DF∵AD∥BC∴∠6=∠5=45°∴∠7=45°∴∠6=∠7在△GDA和△FDA中76DGDFDADA∴△GDA≌△FDA（SAS）∴AG=AF∵BG=AB+AG∴CF=AB+AF1234567GADECFB