如何求解双动点线段长的最小值问题

1如何求解双动点线段长的最小值问题双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段．由于线段的两个端点都在运动，因此增加了解决问题的难度，这类问题的解题策略是：消点——将双动点转化为单动点，然后利用“垂线段最短”确定单动点线段长的最小值，进而得到双动点线段长的最小值．下面举例说明．例1如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_______．说明本题构造矩形，利用“矩形的对角线相等“将双动点线段DE转化为单动点线段CF．达到消点目的．例2如图2，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连结DE，则DE长的最小值是_______．2由“垂线段最短”可知，当DF⊥AC时DF长最小，此时，DF＝12AC=12×8＝4，∴DE长的最小值是42．说明本题构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，将双动点线段DE与单动点线段DF建立联系，进行消点．例3如图3，已知点A在反比例函数y＝6x的图象上，且点A横坐标为2．现将一个含30°的三角板的直角顶点与点A重合并绕点A旋转，旋转时三角板的两直角边与x轴的交点分别为点B、C，则线段BC的最小值是_________．解析过点A作AD⊥BC于点D，取线段BC的中点E，连结AE．当x＝2时，y＝6x＝3，∴点A坐标为(2，3)，∴AD＝3．∵∠BAC＝90°，E为线段BC的中点，∴BC＝2AE．由“垂线段最短”可知，当AE⊥BC时AE最小，此时AE＝AD＝3．∴BC的最小值为6．说明本题构造三角形中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将双动点线段BC与单动点线段AE建立联系，从而灵活消点．例4如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－4，0）、B(O，4)，⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_______．3解得OP＝22．说明本题构造直角三角形，利用勾股定理将双动点线段PQ与单动点线段OP建立联系，从而巧妙消点．例5如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．解析作直径EG，则∠EFG＝90°，∠G＝∠BAC＝60°，EG＝AD．在Rt△EFG中，EF＝EG·sin∠G＝AD·sin60°＝32AD．过点A作AH⊥BC，垂足为点H，在Rt△ABH中，AH＝AB·sin∠ABC＝22·sin45°＝2222＝2．由“垂线段最短”可知，AD≥AH，∴线段EF长的最小值为32AH＝32×2＝3．说明本题构造直径为斜边的直角三角形，利用同圆的直径都相等，将双动点线段EF与单动点线段AD建立联系，实现消点．