必修一-函数的基本性质常见题型及方法

必修一函数的基本性质常见题型及方法第一部分：求函数值域定义域例1求下列函数的定义域（1）232;xxyxx（2）216;1xyxxx（3）0(1)xyxx；（4）0232(1)53xyxx例2（1）已知函数()fx的定义域为[0，1]，求2(1)fx的定义域；（2）已知函数(21)fx的定义域为[0，1),求(13)fx.例3已知函数32143axyaxax的定义域为R，求实数a的取值范围。例4求下列函数的值域（1）21;1,2,3,4,5yxx；（2）1yx；（3）1xyx（4）2211xyx（5）223(52)yxxx；（6）254yxx（7）211yx例5求下列函数的值域（1）21yxx；（2）21yxx1、观察法：利用熟知基础函数的值域，求出函数的值域；2、配方法：若函数是二次函数形式的可通过配方后再求出函数的值域；3、反比例函数法：形如cxdyaxb的形式值域为cxdcyyRaxba且y；4、换元法：对一些无理函数或超越函数，通过换元把它们转换为有理函数，再利用有理函数的特征求函数值域（复合函数的情况较多）5、判别式法：形如yy一次函数二次函数二次函数或或二次函数一次函数二次函数的常用该方法。将y看成是关于x的一元二次方程的系数，然后利用判别式240bac列出关于y的不等式，从而求出值域（该方法不常用）6、几何法：通过画函数图像找出函数的值域7、不等式法：利用重要不等式求出函数值域；一般形如ayxx8、单调性法：根据函数自身单调性，求出函数的最值从而确定函数的值域；第二部分函数的表示及函数变换例1求下列函数的解析式（1）已知2()2fxxx，求(21)fx；（代入法）（2）已知(1)2fxxx，求()fx；（配凑法或换元法）（3）已知1()2()32fxfxx（方程法）（4）若2726fffxx，求一次函数()fx的解析式（待定系数法）（5）已知函数()fx对任意的实数,xy，都有()()2()fxyfxyxy，且(1)1f，求()fx的解析式（抽象函数的解析式求法）（注：1、所给函数方程含有两个变量时，可对两个变量交替代入特殊值，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知数的函数，至于是什么特殊值，根据题目特征而定。2、通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出解析式）第三部分函数的单调性1、函数的单调性的证明（略）2、函数单调性的判断方法：（1）、图象法（2）直接法（3）利用符合函数的单调性的判断法则（4）导数法3、掌握常见函数的单调性4、函数单调性的应用（1）、利用函数单调性比较函数值的大小（2）、利用函数的单调性求参数的取值范围（3）、利用函数的单调性求函数的最值5、抽像函数的单调性：没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常采用定义法，还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。例1讨论函数2()1axfxx在(1,1)x上的单调性，其中a为非零常数。例2已知函数()fx在[0,)上是减函数，试比较3()4f与2(1)faa的大小。例3求函数()[2,5]1xfxx在上的最大值与最小值例4已知函数()fx对于任意,xyR，总有()()()fxfyfxy，且当0x时，()0fx，2(1)3f。（抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用）(1)求证()fx在R上是减函数。(2)求()fx在[3,3]上的最大值和最小值。第四部分函数的奇偶性1、函数奇偶性的应用（1）、求函数值（2）求函数解析式（3）解抽象函数不等式例1、设函数()fx是定义域R上的奇函数，(2)()fxfx，当01x时，()fxx，求(7.5)f的值例2、已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，3()1fxxx，求()fx的解析式。例3设()fx在R上是偶函数，在区间(,0)上递增，且有22(21)(321)faafaa，求a的取值范围。例4判断下列函数的奇偶性1、21()22xfxx；2、221,0.()1,0;xxxfxxxx注意：（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。（2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。(3)若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。例5已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）求证：()fx是偶函数；（2）求证：()fx在(0,)上是增函数；（3）试比较5()2f与7()4f的大小。例6函数()(0)yfxx是奇函数，且当(0,)x时是增函数，若(1)0f，求不等式1[()]02fxx的解集。例7设()fx是连续的偶函数，且当0x时()fx是单调函数，且满足3()()4xfxfx的所有x之和为（）A.-3B.3C.-8D.8练习题1、函数1()fxxx的图象关于（）.A．y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2、已知()fx在R上是奇函数，且满足(4)()fxfx，当(0,2)x时，2()2fxx，则(7)f（）。A.-2B.2C-98D.983、设定义在R上的函数()fx满足()(2)13fxfx。若(1)2f，则(99)f（）。A.13B.2C.132D.2134、若函数3()()fxxxR，则函数()yfx在其定义域上是（）A.单调递减的偶函数B.单调递增的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数5、(),()fxgx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“(),()fxgx均为偶函数”是“()hx为偶函数”的（）。A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6、已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，则(6)f的值为（）A.-1B.0C.1D.27、设()fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A.()()fxfx是奇函数B.()()fxfx是奇函数C.()()fxfx是偶函数D.()()fxfx是偶函数8、设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a.9、已知函数()yfx为奇函数，若(3)(2)1ff，则(2)(3)ff10、设函数()fx在(,)上满足(2)(2),(7)(7)fxfxfxfx，且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0ff。试判断函数()yfx的奇偶性；