初中数学【8年级上】专题课堂(六)　分式的运算

第十五章分式专题课堂(六)分式的运算一、分式的意义与性质类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件；(2)分式的基本性质及应用．【例1】若实数a，b满足ab＋ba＝2，求a2＋ab＋b2a2＋4ab＋b2的值．分析：本题有两种解法，解法1：根据分式的基本性质，把求值式的分子、分母都除以ab，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可；解法2：对条件式进行变形，可得a2＋b2＝2ab，整体代入求值式即可．解：解法1：由ab＋ba＝2知ab≠0，∴a2＋ab＋b2a2＋4ab＋b2＝（a2＋ab＋b2）÷ab（a2＋4ab＋b2）÷ab＝ab＋1＋baab＋4＋ba＝（ab＋ba）＋1（ab＋ba）＋4＝2＋12＋4＝12；解法2：由ab＋ba＝2知a≠0，b≠0，且a2＋b2＝2ab，∴a2＋ab＋b2a2＋4ab＋b2＝（a2＋b2）＋ab（a2＋b2）＋4ab＝2ab＋ab2ab＋4ab＝12【对应训练】1．下列各式正确的有()①ab＝a2b2；②ab＝a＋cb＋c；③ab＝aba＋b；④ab＝abb2.A．1个B．2个C．3个D．4个2．若分式x2－12x＋2的值为0，则()A．x＝－1B．x＝1C．x＝－12D．x＝±1AB3．当_________________时，分式x－22x＋6的值恒为负数．4．已知分式4a＋84－a2的值为正整数，求整数a的值．解：由题意知4－a2≠0，∴4a＋84－a2＝4（a＋2）（2＋a）（2－a）＝42－a，要使分式的值为正整数，则2－a＝1或2－a＝2或2－a＝4，∴a＝1或0或－2，又∵a＝－2时分式无意义，∴a＝－2舍去，故a的值为1或0－3x2二、分式的运算分式运算的一般方法是按分式运算法则和运算顺序运算，对比较复杂的分式运算，常用的方法有先约分再计算、整体通分法、分组通分法等．【例2】计算：(1)xx－1÷(1x2－1＋1x＋1)；(2)x2－1x2－2x＋1·x－1x2＋x＋2x；(3)(a－2＋4a＋2)÷(a2a＋1－a＋1)．分析：(1)按分式运算法则和运算顺序进行；(2)先约分，再计算；(3)将整式的分母看成1，再通分．解：(1)原式＝xx－1÷xx2－1＝xx－1×（x－1）（x＋1）x＝x＋1(2)原式＝（x－1）（x＋1）（x－1）（x－1）·x－1x（x＋1）＋2x＝1x＋2x＝3x(3)原式＝（a－2）（a＋2）＋4a＋2÷a2－（a－1）（a＋1）a＋1＝a2a＋2÷1a＋1＝a2（a＋1）a＋2＝a3＋a2a＋2【对应训练】5．计算：(1)a2＋6aa2＋3a－a2－9a2＋6a＋9；(2)(aa－2－aa＋2)·4－a2a；解：原式＝9a＋3解：原式＝－4(3)(a＋1－4a－5a－1)÷(1a－1－2a2－a)；(4)1x＋1－1x＋2＋1x＋3－1x＋4.解：原式＝a2－2a解：原式＝2x2＋10x＋14（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）三、分式的化简求值类型：(1)直接给出字母的值；(2)由方程(或不等式)得出字母的值(或取值范围)；(3)将含字母的等式整体代入求值．注意：在自选数的代入求值问题中，所选数要使分式有意义．【例3】先化简分式(1－1x)÷x2－2x＋1x2－1，再从2，1，0，－1，中选取一个你认为合适的数代入求值．分析：先对分式进行化简，然后选取使原分式有意义的x值代入求值．解：原式＝x－1x×（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x，当x＝2时，原式＝2＋12＝32(注意当x＝0，1，－1时，原分式无意义)【对应训练】6．当x＝2时，3x－3x2－1÷3xx＋1－1x－1的值为()A．－12B．－23C．－14D．－327．已知a＝5＋2，b＝5－2，则(aab－b2－bab－a2)÷a2＋b2ab的值为____．8．先化简，再求值：x＋22x2－4x÷(x－2－8x2－x)，其中x2＋2x－1＝0.解：原式＝12（x2＋2x），∵x2＋2x－1＝0，x2＋2x＝1，∴原式＝12A149．先化简，再求值：(xx－1－xx2－1)÷x2－xx2－2x＋1－x＋2x＋1，其中x是不等式组3x＋71，2x－15的整数解．解：原式＝－2x＋1，解不等式组得－2x3，其整数解为－1，0，1，2，∵x＝2，∴原式＝－23