初中数学【8年级上】13.1.2 线段的垂直平分线的性质

13.1轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质人教版数学八年级上册第一课时第二课时13.1轴对称第一课时线段的垂直平分线的性质13.1轴对称某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC实际问题1导入新知13.1轴对称ABL实际问题2在成渝高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？成渝高速公路导入新知13.1轴对称3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．素养目标13.1轴对称你能用不同的方法验证这一结论吗？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3……到点A与点B的距离之间的数量关系.相等．ABlP1P2P3线段的垂直平分线的性质定理探究新知知识点113.1轴对称猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．ABPCl探究新知猜想与证明13.1轴对称用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl探究新知13.1轴对称线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．探究新知归纳总结13.1轴对称1.如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于___．ABCDE8巩固练习13.1轴对称解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．2.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE巩固练习∴AB=AC=CE．∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．13.1轴对称反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC线段的垂直平分线的判定定理探究新知知识点213.1轴对称证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知13.1轴对称用数学符号表示为：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．PABC探究新知13.1轴对称这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．PABCl探究新知试一试：13.1轴对称例1如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC线段垂直平分线的判定定理的应用探究新知素养考点113.1轴对称3.如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上.ABCON巩固练习13.1轴对称∴点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）ABCON证明：连结OB.∵ON是AB的垂直平分线（已知）∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）∵OA=OC（已知）∴OB=OC（等量代换）巩固练习13.1轴对称如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CABDKFE过直线外一点作已知直线的垂线作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.探究新知知识点312DE13.1轴对称（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？12DE（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？探究新知想一想13.1轴对称4.如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等．解：(1)作∠MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.巩固练习13.1轴对称连接中考1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=度．B24巩固练习13.1轴对称1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm基础巩固题C课堂检测13.1轴对称2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定CC课堂检测基础巩固题3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，则四边形ACBD的周长为cm.7.813.1轴对称4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.课堂检测基础巩固题13.1轴对称1.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？能力提升题答：△ABC三边垂直平分线的交点上.课堂检测13.1轴对称2.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D.EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL）∴OD＝OC∴O，E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.课堂检测能力提升题13.1轴对称如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．拓广探索题课堂检测解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14cm，∴AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.设AB＝xcm，AC＝ycm.根据题意，得解得∴AB长为8cm，AC长为6cm.142.xyxy86.xy13.1轴对称线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.集合定义线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.关系PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等课堂小结13.1轴对称第二课时作线段的垂直平分线13.1轴对称如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB公路导入新知13.1轴对称素养目标3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．13.1轴对称线段垂直平分线的画法有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ABCA′B′C′通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称图形.不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？探究新知知识点1问题1：问题2：13.1轴对称如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.探究新知画一画13.1轴对称ABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.12（2）作直线CD.CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.探究新知13.1轴对称如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可.公共汽车站探究新知13.1轴对称例1如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.MNABl利用线段的垂直平分线的性质作图探究新知素养考点113.1轴对称解：(1)如图所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.MNABlP探究新知13.1轴对称1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线12D巩固练习13.1轴对称例2如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMAB利用作图解决实际问题探究新知素养考点213.1轴对称ONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.解：如图所示：P巩固练习13.1轴对称2.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.巩固练习13.1轴对称作轴对称图形的对称轴下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？AB作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴．l用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．探究新知知识点213.1轴对称探究新知归纳总结方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.13.1轴对称例3如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.解