初中数学【8年级下】解题技巧专题：中点四边形问题

1．如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE.连接AC，BD.(1)试说明四边形EFGH为平行四边形；解：(1)∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD.同理得FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)当AC与BD满足时，四边形EFGH是菱形，并证明你的结论；(2)证明如下：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH＝12BD，EF＝12AC.又∵AC＝BD，∴EH＝EF.∴平行四边形EFGH是菱形．AC＝BD(3)当AC与BD满足时，四边形EFGH是矩形；当AC与BD满足，四边形EFGH是正方形(不用证明)．AC⊥BDAC⊥BD且AC＝BD时2．我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD，四边形ABCD就是“对角线垂直四边形”．(1)下列四边形中，一定是“对角线垂直四边形”的是；A．平行四边形；B.矩形；C.菱形；D.正方形．CD(2)如图②，在“对角线垂直四边形”ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形；(2)证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴HG∥AC，EF∥AC.∴HG∥EF.同理可得HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵DB⊥AC，∴HE⊥HG.∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH是矩形．(3)小明说：“计算对角线垂直四边形的面积可以仿照菱形的方法，面积是对角线之积的一半．”小明的说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果错误，请给出反例．(3)解：小明的说法正确．证明如下：在图①中，S四边形ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝12AC·OD＋12AC·BO＝12AC(OD＋OB)＝12·AC·BD，即对角线垂直四边形的面积是对角线之积的一半．(3)小明说：“计算对角线垂直四边形的面积可以仿照菱形的方法，面积是对角线之积的一半．”小明的说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果错误，请给出反例．方法总结：(1)任意四边形的中点四边形都是平行四边形；(2)若要使中点四边形是矩形、菱形、正方形中的一种，则原四边形的两条对角线必须满足下表中的关系：中点四边形的形状原四边形两条对角线的关系图例几何语言矩形两条对角线互相垂直若AC⊥BD，则中点四边形EFGH为矩形菱形两条对角线相等若AC＝BD，则中点四边形EFGH为菱形正方形两条对角线互相垂直且相等若AC⊥BD且AC＝BD，则中点四边形EFGH为正方形(3)中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和，中点四边形的面积是原四边形面积的一半．