初中数学【8年级下】18.1.1 第2课时　平行四边形的对角线的特征

A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一平行四边形的对角线互相平分1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论错误的是(C)A．OA＝OCB．OB＝ODC．OB＝ABD．AC，BD互相平分2．如图，在▱ABCD中，全等三角形共有(C)A．2对B．3对C．4对D．5对3．(教材P44练习T1变式)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O.若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为(D)A．8B．10C．12D．144．(2020·益阳中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是(D)A．10B．8C．7D．6【变式题】条件改变，本质不变如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是.1cmOA4cm5．(2020·长春中考改编)如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：OE＝OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°.在△OEB和△OFD中，∠OEB＝∠OFD，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD，∴△OEB≌△OFD(AAS)．∴OE＝OF.6．(教材P51T14变式)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F.(1)求证：OE＝OF；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC.∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO.∴△FCO≌△EAO(AAS)．∴OE＝OF.(2)若AC＝18，EF＝10，求AE的长．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝18，∴OA＝12AC＝9.∵OE＝OF，EF＝10，∴OE＝12EF＝5.∴AE＝OA2－OE2＝92－52＝214.知识点二平行四边形的面积7．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的面积为5，则▱ABCD的面积为(C)A．10B．15C．20D．258．如图，四边形ABCD是平行四边形．若S▱ABCD＝12，则S阴影＝.39．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，求▱ABCD的面积．解：∵▱ABCD的周长为2(BC＋CD)＝40，∴BC＋CD＝20①.∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6，∴S▱ABCD＝4BC＝6CD.整理，得BC＝32CD②，把②代入①，得32CD＋CD＝20.解得CD＝8.∴▱ABCD的面积为AF·CD＝6×8＝48.10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(D)A．28B．24C．21D．1411．(2020·黔东南州中考)以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2，1)，则C点坐标为．(2，－1)12．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，BD＝4，则▱ABCD的面积等于.163或83解析：如图，过D作DE⊥AB于点E.在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝43，∴DE＝12AD＝23，AE＝AD2－DE2＝6.在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴BE＝BD2－DE2＝42－（23）2＝2.如图①，AB＝AE＋BE＝8，∴▱ABCD的面积为AB·DE＝8×23＝163；如图②，AB＝AE－BE＝4，∴▱ABCD的面积为AB·DE＝4×23＝83.故答案为163或83.13．在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD，BC于E，F两点，(1)如图①，求证：AE＝CF；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，AD∥BC，AD＝BC.∴∠EDB＝∠FBO.在△EOD和△FOB中，∠EDO＝∠FBO，DO＝BO，∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB(ASA)．∴DE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF.(2)如图②，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE(DE除外)相等的所有线段．(2)解：与DE相等的线段为BE，EF，BF，DF.14．如图，四边形ABCD和ABDF均为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BF与AD相交于点E.(1)试猜想△BOC与△DEF的面积关系，并说明理由；解：(1)△BOC与△DEF的面积相等，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∴S△BOC＝14S▱ABCD.同理，S△EDF＝14S▱ABDF.又∵S▱ABCD＝S▱ABDF＝2S△ABD，∴S△BOC＝S△DEF.(2)若AB＝BC，求∠CAF的度数．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AB＝BC，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD.∴∠CAF＝∠COD＝90°.15．如图，点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.(1)求线段EF的长；(1)∵点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，∴OD＝OB.∵DE＝OF，∴EF＝OD＝12BD＝4.(2)若△OAE的面积为S1，△OCF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的．(2)S1＋S2的值不变．如图，连接AF，∵点O为▱ABCD的对角线AC，BD的交点，∴AO＝OC.∴S△AOF＝S△COF.∵DE＝OF，∴S△ADE＝S△AOF＝S△COF.∴S1＋S2＝S△AEF＝S△AOD.∵∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠DAC＝90°，∠AOD＝60°.∴AO＝12OD＝2.在Rt△AOD中，AD＝OD2－OA2＝23，∴S1＋S2＝S△AOD＝12AD·OA＝12×23×2＝23.平行四边形中的解题模型(二)：如T8.