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第1页共3页22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴公式.3.用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴.一、情境导入火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h=-5t2+150t+10表示.那么经过多长时间,火箭达到它的最高点?二、合作探究探究点一:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴.(1)给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0.其中正确的结论的序号是________;(2)给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是________.解析:由抛物线开口向上,得a>0;由抛物线y轴的交点在负半轴上,得c<0;由抛物线的顶点在第四象限,得-b2a>0,又a>0,所以b<0;由抛物线与x轴交点的横坐标是1,得a+b+c=0.因此,第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上,由a>0、b<0、c<0,可得abc>0;由-b2a<1、a>0,可得2a+b>0;由点(-1,2)在抛物线上,可知a-b+c=2,又a+b+c=0,两式相加得2a+2c=2,所以a+c=1;由a+c=1,c<0,可得a>1.因此,第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结:观察抛物线的位置确定符号的方法:①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号.开口向上,a>0;开口向下,a<0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号.顶点在第一、四象限,-b2a>0,由此得a、b异号;顶点在第二、三象限,-b2a<0,由此得a、b同号.再由①中a的符号,即可确定b的符号.【类型二】二次函数y=ax2+bx+c的性质(2014·广西南宁)如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是()A.a>1B.-1<a≤1第2页共3页C.a>0D.-1<a<2解析:抛物线的对称轴为直线x=-22×(-1)=1,∵函数图象开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,∴a≤1.∵-1<x<a,∴a-1,∴-1a≤1,故选择B.方法总结:抛物线的增减性:当a>0,开口向上时,对称轴左降右升;当a<0,开口向下时,对称轴左升右降.【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别(2014·贵州遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是()解析:∵A图和D图中直线y=ax+b过一、三、四象限,∴a>0,b<0,∴抛物线y=ax2+bx的开口向上,对称轴x=-b2a>0,∴选项A错,选项D正确;B图和C图中直线y=ax+b过二、三、四象限,∴a<0,b<0,∴抛物线的开口向下,且对称轴x=-b2a<0,∴选项B,C错.故选择D.方法总结:多种函数图象的识别,一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数),再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点,最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察,得出结论.【类型四】抛物线y=ax2+bx+c的平移(2014·浙江丽水)在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到图象的顶点坐标是()A.(-3,-6)B.(1,-4)C.(1,-6)D.(-3,-4)解析:二次函数y=2x2+4x-3配方得y=2(x2+2x)-3=2(x2+2x+1-1)-3=2(x+1)2-5,将抛物线y=2(x+1)2-5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y=2(x+1-2)2-5=2(x-1)2-5,再将抛物线y=2(x-1)2-5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y=2(x-1)2-5-1=2(x-1)2-6,此时二次函数图象的顶点为(1,-6),故选择C.方法总结:二次函数的平移规律:将抛物线y=ax2(a≠0)向上平移k(k0)个单位所得的函数关系式为y=ax2+k,向下平移k(k0)个单位所得的函数关系式为y=ax2-k;向左平移h(h0)个单位所得函数关系式为y=a(x+h)2;向右平移h(h0)个单位所得函数关系式为y=a(x-h)2;这一规律可简记为“上加下减,左加右减”.【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用如图,已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.解:(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入y=-12x2+bx+c得:-2+2b+c=0,c=-6,解得b=4,c=-6.∴这个二次函数的解析式为y=-第3页共3页12x2+4x-6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x=-42×(-12)=4,∴点C的坐标为(4,0).∴AC=OC-OA=4-2=2,∴S△ABC=12×AC×OB=12×2×6=6.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质,体会数学建模的数形结合思想方法.
本文标题:22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
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