初中数学【9年级上】24.1.4 圆周角

倍速课时学练我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．什么叫做圆周角？·ABCDEO一、概念倍速课时学练如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？·AB甲（O）乙（C）丙（D）丁（E）玻璃倍速课时学练探究·CDABO可以发现，同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．三、分别量一下图中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？再分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？倍速课时学练为了进一步探究上面的发现，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，所以折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上.·COAB四、同弧所对的圆周角与圆心角的关系BOCA21即∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C，∴∠BOC=2∠A.倍速课时学练（2）在圆周角的内部．圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有12BADBOD12DACDOC1()2BADDACBODDOC12BACBOC·COABD倍速课时学练（3）在圆周角的外部．12BADBOD12DACDOC1()2DACDABDOCDOB12BACBOC圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有·COABD倍速课时学练·ABC1OC2C3五、定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．推论倍速课时学练在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．六、倍速课时学练例2如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB·ABCDO解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.七、例题弧AD=弧BD.倍速课时学练1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6八、练习倍速课时学练2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB使用帮助倍速课时学练3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO已知：△ABC，CO为AB边上的中线，求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O.∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=×180°=90°.1212且CO=AB.∴△ABC为直角三角形.