初中数学【9年级上】22.2

22.2二次函数与一元二次方程知识点一知识点二知识点一二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两个不等实数根.知识点一知识点二名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:(1)b2-4ac0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的根x1,x2⇔二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点(x1,0)和(x2,0);(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的根x1=x2⇔二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点(x1,0);(3)b2-4ac0⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根⇔二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点.知识点一知识点二例1已知抛物线y=-x2+2x+8,求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.分析:把已知函数解析式配方,即可求出抛物线的顶点坐标;令y=0即可求出抛物线与x轴的交点.解:∵y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,∴抛物线顶点的坐标为(1,9).令y=0,则0=-x2+2x+8,解得x=4或-2,∴抛物线与x轴的交点坐标为(4,0)或(-2,0).知识点一知识点二求抛物线与x轴的交点坐标,只要令y=0,得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,解方程即可.知识点一知识点二知识点二用图象法求一元二次方程的近似解用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:(1)画出二次函数的图象;(2)确定抛物线与x轴交点的个数;(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的近似解(或根).名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次方程的近似解,可以有一定的误差.知识点一知识点二例2利用函数图象求方程x2+2x-5=0的实数根(精确到0.1).分析:要利用图象求方程x2+2x-5=0的实数根,首先画出二次函数y=x2+2x-5的图象,然后估计函数图象与x轴交点,交点的横坐标就是方程的根.解:函数y=x2+2x-5的图象如图所示,由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1和2之间.知识点一知识点二(1)先求-4和-3之间的根,作出函数y=x2+2x-5的对应值表,如下表.由表知x=-3.4是方程的一个近似根.(2)另一个根在1和2之间,作出函数y=x2+2x-5的对应值表,如下表.由表知x=1.4是方程的另一个近似根.所以方程的两个近似根为x1=-3.4,x2=1.4.x-3.1-3.2-3.3-3.4-3.5y-1.59-1.16-0.71-0.240.25x1.11.21.31.41.5y-1.7-1.16-0.71-0.240.25知识点一知识点二(1)准确画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,画图时要先确定抛物线的顶点,再在顶点两侧取相对称的点(至少描五点来连线);(2)确定抛物线与x轴的交点在哪两个数之间;(3)列表格,在第(2)步中确定的两个数之间取值,进行估计,通常只精确到十分位即可.注意:在实际的解题过程中,可通过观察图象得到方程的近似根,一般不需要列表探究.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一利用“交点式”确定二次函数的解析式例1已知二次函数的图象与x轴的交点为(3,0),(-1,0),与y轴交点为(0,3).(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数的对称轴及顶点坐标.分析:(1)∵二次函数的图象与x轴的交点为(3,0),(-1,0),∴可设二次函数解析式为y=a(x-3)(x+1).把与y轴交点坐标(0,3)代入即可求解.(2)根据二次函数解析式即可求出对称轴及顶点坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设二次函数解析式为y=a(x-3)(x+1),把(0,3)代入得-3a=3,∴a=-1,故二次函数解析式为y=-(x-3)(x+1).(2)∵y=-(x-3)(x+1)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴该二次函数的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五当已知二次函数图象与x轴两交点的坐标(或根据已知条件能得出二次函数的图象与x轴两交点的坐标)时,一般利用交点式(实际是三点式的特殊情况,是三点中的两点是x轴上的点)求解二次函数的解析式,这种方法的优点是计算相对简便.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二求抛物线与x轴的交点有关的图形面积例2若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),与x轴交于B,C两点,且B点坐标为(1,0),与y轴交于点D,求△BCD的面积.分析:设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,由A和B的坐标可求出抛物线的解析式,所以D的坐标可求出,根据顶点的坐标可知抛物线的对称轴,再由B的坐标可求出C点的坐标,BC的长度可求,利用三角形的面积公式计算即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,∵顶点是A(2,1),∴y=a(x-2)2+1,∵点B(1,0)在抛物线上,∴0=a+1,∴a=-1,∴y=-(x-2)2+1,∴点D的坐标为(0,-3).∵点B的坐标为(1,0),∴点C的坐标为(3,0),∴BC=2,∴△BCD的面积=×2×3=3.12拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五在坐标系中求三角形的面积,一般把三角形的底边“放在”坐标轴上,当底边在x轴上时,高是纵坐标的绝对值;当底边在y轴上时,高是横坐标的绝对值.如果坐标轴把该三角形分成两个三角形,则先分别求出两个三角形的面积,最后再相加即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三与抛物线和x轴的交点有关的综合题例3如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-3,0).(1)求点B的坐标;(2)若点P在抛物线上,a=1,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)由抛物线的对称性可知,点B,C到对称轴的距离相等可求得B点的坐标;(2)由条件可先求得抛物线的解析式,再求得△BOC的面积,结合条件可求得P点到y轴的距离,即P点的横坐标的绝对值,代入可求得P点坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)∵对称轴为x=-1,A点坐标为(-3,0),∴B点坐标为(1,0).(2)由抛物线的对称轴为x=-1,得-𝑏2𝑎=-1,当a=1时,代入可求得b=2,∴抛物线为y=x2+2x+c.又∵抛物线过B(1,0),代入可求得c=-3,∴抛物线解析式为y=x2+2x-3,∴C点坐标为(0,-3),∴OC=3,且OB=1,∴S△BOC=12OB·OC=12×3×1=32,∴S△POC=4S△BOC=6,设P到y轴的距离为h,则S△POC=12OC·h=32h=6,解得h=4,∴P点的横坐标为4或-4,当x=4时,代入抛物线解析式可求得y=21,当x=-4时,代入抛物线解析式可求得y=5,∴P点坐标为(4,21)或(-4,5).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五利用待定系数法确定二次函数的解析式或求二次函数与x轴交点坐标的时候,运用二次函数图象的对称性,往往是解答问题的突破口.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c及b2-4ac的关系例4二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解析:(1)abc0,理由是:抛物线开口向上,a0,抛物线交y轴于y轴负半轴,c0,又对称轴交x轴于x轴的正半轴,-0,而a0,得b0,因此abc0;(2)b2-4ac0,理由是:抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0;(3)2a+b0,理由是:∵0-1,a0,∴-b2a,因此2a+b0;(4)a+b+c0,理由是:由图象可知,当x=1时,y=a+b+c0.综上所述,abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有3个.答案:B𝑏2𝑎𝑏2𝑎拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答这类问题,需要数形结合对每一种情况都要综合分析,然后作出判断,一般方法是:(1)首先根据开口方向判断a的符号,结合对称轴确定b的值或符号,根据抛物线与y轴交点的位置确定c的值或符号;(2)其次根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号;(3)最后根据以上各式的值或符号结合图象的几何性质再判断其他代数式的符号或值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五利用图象解不等式例5(2015秋·盐都区期末)已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,若y0,则x的取值范围是()A.-1x3B.-1x4C.x-1或x3D.x-1或x4解析:求y0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x-1或x3.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c0和ax2+bx+c0时,找出图象与x轴的交点的横坐标,图象在x轴上方对应的自变量的取值即为ax2+bx+c0的解集,图象在x轴下方对应的自变量的取值即为ax2+bx+c0的解集.