初中数学【9年级下】考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合

第二十六章反比例函数考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合类型一类型二录目页解题技巧：①反比例函数与三角形综合，需运用三角形的面积、等腰三角形的性质及勾股定理解题；②反比例函数与四边形综合，需运用四边形的对称性、边角之间的关系解题．◆类型一反比例函数与三角形1．(2020·黔东南州中考)如图，点A是反比例函数y＝6x(x＞0)图象上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为()A．2B．4C．6D．8A2．如图，点A在双曲线y＝3x(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B.当AC＝1时，△ABC的周长为.3＋13．如图，点A在反比例函数y＝kx(x＜0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA.若△OAB的周长为6，且OA＝52，则k＝.－34．如图，已知反比例函数y＝mx的图象经过第一象限内的一点A(n，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2.(1)求m和n的值；解：(1)由点A(n，4)，AB⊥x轴于点B，且点A在第一象限内，得S△AOB＝12m＝2.∴m＝4.∵A(n，4)在反比例函数y＝4x的图象上，∴n＝1.(2)由直线y＝kx＋2过点A(1，4)，得k＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x＋2.(2)若一次函数y＝kx＋2的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求线段AC的长．令y＝0，得x＝－1.∴点C的坐标为(－1，0)．∵OB＝1，∴BC＝2.在Rt△ABC中，AC＝22ABBC+＝2242+＝25.5．如图，已知Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA＝2，AB＝1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，反比例函数y＝kx的图象经过点B[提示：若点A(a1，b1)，B(a2，b2)，则线段AB中点的坐标为121222aabb骣++琪琪桫，．解：(1)∵OA＝2，AB＝1，∴B(2，1)．把B(2，1)代入y＝kx中，得k＝2，∴y＝2x.(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，连接OP，设OP与BD交于点Q.由题意知，Rt△AOB≌Rt△COD，(2)连接BD，若点P是反比例函数图象上的一点，且直线OP将△OBD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．∴OB＝OD，CD＝AB＝1，OC＝OA＝2.∴D(－1，2)．∵OP将△OBD的周长分成相等的两部分，OB＝OD，OQ＝OQ，∴BQ＝DQ，即Q为BD的中点．∴Q1322骣琪琪桫，.设直线OP的解析式为y＝mx，把Q1322骣琪琪桫，代入y＝mx，得32＝12m，∴m＝3.∴直线OP的解析式为y＝3x.由121266333266.yxxxyyyx祆ì=镲==-ï镲眄?=镲?==-î镲铑，，，得，，∴P1663骣琪琪桫，，P2663骣琪-琪桫，-.6．如图，在直角坐标系中，已知点B(4，0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝kx的图象上．(1)求反比例函数的解析式；解：(1)如图①，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝12OB.∵B(4，0)，∴OB＝OA＝4.∴OC＝2.∴AC＝22224223OAOC-=-=.∴A(2，23)．把点A(2，23)代入y＝kx，得k＝43.∴反比例函数的解析式为y＝43x.(2)分两种情况讨论：如图②，当反比例函数图象经过A′B′的中点D时，过点D作DE⊥x轴于点E.(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′.当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°.∴∠B′DE＝30°.在Rt△DEB′中，B′D＝2，∴B′E＝1.∴DE＝2222''213.BDBE-=-=∴O′E＝3.把y＝3代入y＝43x，得x＝4.∴OE＝4.∴a＝OO′＝1；如图③，当反比例函数图象经过A′O′的中点F时，过点F作FH⊥x轴于点H.由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°.同理可得O′F＝2，FH＝3，O′H＝1.把y＝3代入y＝43x，得x＝4，∴OH＝4.∴a＝OO′＝3.综上所述，a的值为1或3.◆类型二反比例函数与四边形7．(2020·黔西南州中考)如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为()A．y＝－33xB．y＝－3xC．y＝－3xD．y＝3xB8．如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y＝kx(k＞0)在第一象限的图象经过点E.若正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为6，则k＝.69．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y＝kx(x＞0)上，BC与x轴交于点D.若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为.(4，12)10．如图，在▱ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)，AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是－4，▱ABCD的面积是24.反比例函数y＝kx的图象经过点B和点D，求：(1)反比例函数的解析式；解：(1)∵顶点A的坐标是(0，2)，顶点C的纵坐标是－4，∴AE＝6.又∵▱ABCD的面积是24，∴AD＝BC＝4.∴D(4，2)．∴k＝4×2＝8.∴反比例函数的解析式为y＝8x.(2)由题意知B的纵坐标为－4，∴其横坐标为－2.∴B(－2，－4)．设AB所在直线的解析式为y＝ax＋b，(2)AB所在直线的解析式．将A(0，2)，B(－2，－4)代入，得23242.baabb祆==镲眄-+=-=镲铑，，解得，∴AB所在直线的解析式为y＝3x＋2.11．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝mx的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE.(1)若点B的坐标为(－5，0)，求m的值；解：(1)∵点B的坐标为(－5，0)，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴点A(－5，8)，E(－2，4)．∵反比例函数y＝mx的图象经过点E，∴m＝－2×4＝－8.(2)∵AD＝3，DE＝12×8＝4，∠D＝90°，∴AE＝22ADDE+＝5.∵AF－AE＝2，∴AF＝5＋2＝7.∴BF＝8－7＝1.(2)若AF－AE＝2，求反比例函数的解析式．设点E的坐标为(a，4)，则点F的坐标为(a－3，1)．∵E，F两点在函数y＝mx的图象上，∴4a＝a－3.解得a＝－1.∴E(－1，4)．∴m＝－1×4＝－4.∴y＝－4x.12．如图，在菱形ABCD中，对称中心是坐标原点O.已知A(－8，0)，反比例函数y＝mx(k≠0)的图象与AD边交于E(－6，1)、F两点．(1)求k的值以及点F的坐标；解：(1)把E(－6，1)代入y＝kx，得k＝－6×1＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－6x.设直线AD的解析式为y＝mx＋n，把A(－8，0)，E(－6，1)代入得8061mnmnì-+=ïí-+=ïî，，124.mnì=ïíï=î，解得∴直线AD的解析式为y＝12x＋4.解方程组14622613yxxxyyyxì=+ï祆=-=-镲?眄?==镲ï铑=-ïî，，，得或，，，∴点F的坐标为(－2，3)．(2)∵菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，∴边BC与反比例函数图象的交点坐标分别为(6，－1)，(2，－3)．(2)写出函数y＝kx(k≠0)的图象在菱形ABCD内x的取值范围．∴函数y＝kx(k≠0)的图象在菱形ABCD内x的取值范围为－6＜x＜－2或2＜x＜6.