初中数学【9年级下】综合滚动练习：相似三角形的性质与判定

第二十七章相似综合滚动练习：相似三角形的性质与判定一、选择题(每小题4分，共32分)1．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则''BCBC＝()A．2B.43C．3D.169B2．如图，已知∠1＝∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充的条件是()A．∠B＝∠DB．DE＝ABC.ADDEABBCD．∠D＝∠CD3．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上的中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不与△ABC相似的三角形是()A．△CEFB．△ADEC．△ACED．△ACFB4．(2020·永州中考)如图，在△ABC中，EF∥BC，23AEEB，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A.913B．25C．35D．63B5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为()3424A.B.C.D.525255D6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为()A．1∶2B．2∶3C．1∶4D．2∶5A7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为()A．3.6B．4C．4.8D．5B8．(2020·昆明中考)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中6×6的正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有()A．4个B．5个C．6个D．7个C二、填空题(每小题4分，共24分)9．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝2A1B1.若△ABC的周长是18cm，则△A1B1C1的周长是cm.910．如图，E是▱ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：．△ADF∽△ECF(答案不唯一)11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为.1012．(2020·盐城中考)如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10，则AEAC的值为.213．(2020·富平县期末)如图，O为Rt△ABC斜边的中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上．若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝.25814．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若P是BC边上任意一点，且满足∠APM＝∠ABC，PM与AC边的交点为M，则线段AM的最小值是.165【解析】设BP＝x，则CP＝6－x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠APM＝∠ABC，∠APC＝∠ABC＋∠BAP＝∠APM＋∠MPC，∴∠BAP＝∠MPC.∴△ABP∽△PCM.∴256=65ABBPxxxCMPCCMxCM，即，则.∴AM＝5－222616116+5=(3)+55555xxxxx－－－.当x＝3时，AM有最小值，为165.故答案为165.三、解答题(共44分)15．(8分)如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9.(1)求CD的长；(1)解：∵AE＝4，AC＝9，∴CE＝AC－AE＝9－4＝5.∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE.∴=CDCEABAE.∴CD＝6515==42ABCEAEg.(4分)(2)证明：∵4262====6393AEABABAC，，∴=AEABABAC.∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB.(8分)(2)求证：△ABE∽△ACB.16．(10分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，连接BE，ED2＝EA·EC.(1)求证：∠EBA＝∠C；证明：(1)∵EF垂直平分BD，∴DE＝BE.∵ED2＝EA·EC，=.=.DEECEADEBEECEABE∴∴∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CBE.∴∠EBA＝∠C.(5分)(2)由(1)知EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD.∴∠C＋∠DBC＝∠EBA＋∠ABD.∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD.(2)如果BD＝CD，求证：AB2＝AD·AC.∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.∴∠ABD＝∠C.∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB.∴=ABADCAAB.∴AB2＝AD·AC.(10分)17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是线段AB上的一个动点．(1)若AD＝2，BC＝6，AB＝8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；解：(1)设AP＝x.以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，有两种情况：①当=ADPAPBBC时，2=86xx，解得x＝2或6；(3分)②当=ADPABCPB时，2=68xx－，解得x＝2，∴当以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似时，AP的长为2或6.(6分)(2)设PA＝x.∵△ADP∽△BPC，∴=ADAPBPBC.(2)若AD＝a，BC＝b，AB＝m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．由题意得Δ≥0，∴m2－4ab≥0.∴当a，b，m满足m2－4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC.(12分)∴=axmxb－，整理得x2－mx＋ab＝0，(9分)18．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.又∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°.∴∠PBC＝∠PAB.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC.(4分)(2)∵△PAB∽△PBC，∴==PAPBABPBPCBC.在Rt△ABC中，BC＝AC，(2)求证：PA＝2PC；22222=2222(8)AB=BC+AC=BC=BC.AB.BCPB=PCPA=PB.PA=PC.∴∴，∴分(3)如图，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h21＝h2·h3.∴∠APC＝90°.∴∠EAP＋∠ACP＝90°.又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，∴∠EAP＝∠PCD.∴△AEP∽△CDP.(12分)∴32==2=2.hPEAPDPPCh，即∴h3＝2h2.∵△PAB∽△PBC，∴12==2hABhBC.∴h1＝2h2.∴2212=2hh＝2h2·h2＝h2h3.(14分)