初中数学【9年级下】4.比例式、等积式的常见证明方法

初中数学知识点精讲课程比例式、等积式的常见证明方法比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手.等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。典例精解类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明如图，□ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：DCCFAEAD.EDABCF如图，□ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：DCCFAEAD.EDABCF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A＝∠C∴∠CDF＝∠E∴△DCF∽△EAD∴DCCFAEAD变式题如图，△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E，求证：AM2＝MD·ME.EDBCAM证明：∵∠BAC＝90°，M为BC的中点∴MA＝MB∴∠B＝∠1∵∠BAC＝90°，DM⊥BC∴∠D＝∠B＝90°－∠C∴∠1＝∠D又∵∠2＝∠2∴△EAM∽△ADM∴AM∶MD＝ME∶AM∴AM2＝MD·ME21方法总结证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中，再证明所属的两个三角形相似。典例精解类型二：利用等线段代换如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.PEDBCAF如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.PEDBCAF证明：连接PC∵AB＝AC，AD是中线∴AD垂直平分BC∴BP＝CP∴∠1＝∠2∵AB＝AC∴∠1+∠3＝∠2＋∠4∴∠3＝∠4∵CF∥AB∴∠3＝∠F∴∠4＝∠F而∠CPE是△CPE和△FPC的公共角∴△CPE∽△FPC∴PE∶PC＝PC∶PF∴PC2＝PE·PF∴BP2＝PE·PF4321方法总结运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换，再按类型一的方法证明.典例精解类型三：找中间比利用等积式代换如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.FEDBCA321如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.FEDBCA证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC而∠BDA＝∠ADC＝90°∴△ABD∽△CAD∴ABBDACAD∵AD⊥BC，E为直角边AC中点∴DE＝EC∴∠3＝∠C又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C∴∠1＝∠2而∠F是△FBD与△FDA的公共角∴△FBD∽△FDA∴DFBDAFAD∴ABDFACAF∴AB·AF＝AC·DF.321方法总结证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.