向量运算法则和运算律比较1

人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.91向量运算法则和运算律几何表示及运算坐标表示及运算运算律备注三角形法则平行四边形法则范围所有向量（两个及以上向量）不共线向量（两个量）所有向量所有向量①注意向量a、b、（a＋b）、（a-b）四者的关系，四者可以作为平行四边形的边和对角线，因此在向量运算中，要对这四者的关系很敏锐，可以采用构造平行四边形的方法解决问题。②a，b，a+b，a-b都在同一平面内加法各向量依次首尾相接后，第一个向量起点与最后向量终点相接即为向量之和。以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线即为两向量之和,不共起点的对角线即为两向量之差。（向量路径的多样性）a＋b＝11221212(,)(,)(,)xyxyxxyya＋b＝121212(,,)xxyyzz两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和。⑴交换律：a＋b=b＋b；⑵结合律：a＋（b＋c）=（a＋b）＋c减法同一起点作两向量，减向量终点指向被减向量终点。口诀：共起点、连终点，指向被减。ab＝11221212(,)(,)(,)xyxyxxyyab＝121212(,,)xxyyzz两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差⑴交换律：ab＝b+a；⑵结合律：a＋（bc）=（aｃ）＋b向量数乘实数与向量a的积仍是一个向量：a，表示向量同向或反向长度伸缩倍。向量数乘是个向量运算中的一个媒介，它使向量加减与数量积的运算变得十分丰富，使它们在形式上更接近代数式的四则运算。λa=λ（x,y）=（λx,λy）实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标。①结合律：λ（μa）=μ（λa），μ、λ为实数。②第一分配律：（λ+μ）a=λa+μa，μ、λ为实数。③第二分配律：λ（a+b）=λa+λb，λ为实数。向量数量积ab=abcos（夹角判断前提：共起点）a的长度a与b在a方向的投影bcos的积cosabab，可用于求长度、距离、夹角、垂直等。ab=11(,)xy22(,)xy=1x2x+1y2y两个向量的乘积等于它们对应坐标的乘积和。a⊥bab＝121212xxyyzz=0⑴交换律：ab=ba⑵数乘分配律：（λa）b=λ（ab）⑶分配律：（a+b）c=ac+bc⑷不满足消去律、结合律和除法向量共线定理：(0)aba=bb推论：,,ABP共线(1)OPtOAtOB或AP=AB(0)aba=bb121212,,xxyyzz，或111222xyzxyz证明线线平行和空间三点共线向量共面定理：a,b不共线p,a,b共面(,)Rp=a+b推论：点P在,,ABC确定的平面内⑴OPxOAyOBzOC且1xyz⑵APxAByAC(,)Rp=a+b((,,,,),,)xyzxyzxyzpppaaabbb()=+,,)xxyyzzababab=(+(,),R证明三个向量共面（或四点共面）人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.92立体几何中的向量方法平行垂直夹角点面距离线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线夹角线面夹角面面夹角涉及向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量方向向量方向向量法向量法向量法向量方向向量与法向量的关系a∥ba=kba⊥u0au=u∥vu=kva⊥b0ab=a∥ua=kuu⊥v0uv=cosababsinauaucosuvuvABdnn证法一方向向量平行方向向量与面内某一向量共线线线平行方向向量垂直判定定理0au=0bu=判定定理a⊥b⊥⑴确定方向向量；⑵求两个向量夹角的余弦值；⑶确定向量夹角的范围；⑷确定线线夹角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。⑴确定方向向量和法向量；⑵求两个向量夹角的余弦值；⑶确定向量夹角的范围；⑷确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90。⑴确定法向量；⑵求两个法向量夹角的余弦值；⑶确定二面角的范围；⑷确定二面角与面面角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来。⑴求平面的法向量；⑵求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离。证法二方向向量与面内两不共线向量共面线面平行方向向量与法向量平行法向量垂直证法三方向向量与法向量垂直法向量平行一、常用方法：1、综合法；2、向量法；3、坐标法；二、常用技巧：1、假设（存在性）：假设结论成立，待定系数建立结论成立的方程（组），根据方程组是否有解来检验结论的正误。2、设元：在向量的几何运算中，将可以确定为基底的基向量设为元，用大字字母表示，其他向量用该基向量表示，可以简化计算过程。3、平方：长度求解。4：计算量：线性运算、比例（含对应坐标比）和数量积。5、赋值：法向量求解。三、易错易混辨析（明确定理、公式运用的前提条件）1、错把向量比直线，本质辨清是关键。⑴共线向量的平行或重合，主要是看两个向量所在的直线有没有公共点，如没有公共点，则对应的两条直线是平行的，如果有公共点，那么对应的两条直线是重合的。⑵注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行，也可以重合；但平行直线是指不重合的两条直线。2、混淆向量与平面平行和直线与平面平行导致错误。线面平行要求直线必须在平面外，在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系，这要求同学们在平时的学习中要注意充分理解定义、定理的实质。3、混淆向量的夹角与空间角：利用向量数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可盲目套用而忽略角的取值范围。利用向量求二面人教A版选修2--1第三章空间向量与立体几何知识总结2013.3.93角时，向量求解一般不能保证所示角是锐角还是钝角，这时要结合实际图形对所求角进行适当的处理，不能混淆二面角与面面角的大小。4、方向向量、法向量的最佳求法：方向向量、法向量的求设要注意结合图形特点，找到线线平行、线面垂直的最本质的有关向量（如图形中固有的平面的垂线），减少计算环节，优化解题步骤。四、向量应用注意点1、从点、线、面、体的关系看向量：向量是空间中有顺序的两点，两点的连线是有向线段，即可以看作是空间多面体的棱或边，也可以看作是空间中直线的一个部分，由于向量具有平行移动性，向量移动可以构成平面，共面向量与共面直线是有区别的，由向量构成平面，一般不用共线的两个向量，这与平面的确定方式有所不同。从平面向量到空间向量，是对向量的研究从一个平面扩展多个平面（至少三个），从二维平面转向三维空间，呈现多样性、复杂性的特点。2、向量法的适用条件：空间向量法与坐标法的结合是一个重要工具，在普通的立体几何问题中，一般不是最佳方法，除非有意考查向量的应用，所以在立体几何的问题中，解题的方法首先考虑综合法，但在图形中具体线线关系、夹角、距离等不好寻找时，可以通过建立空间直角坐标系，向量在求解有关平行、垂直、夹角、距离等方面的优势才能突显出来，这类问题的立体几何图形一般是比较规则的，具有一定的特殊性，存在较多的平行、垂直关系，能找到建立空间直角坐标系所需要的三条两两垂直的直线，夹角、线段长度关系相对固定，容易求坐标值。3、向量法的适用范围：在立体几何中构造向量，求解有关平行、垂直、夹角、距离、比值、共线（共面）等方面的问题时，要注意分析图形的特点，充分挖掘图形中的特殊关系（如平行、垂直、特殊角等），结合立体几何图形的有关性质、定理（这些是解决问题的基础），辨析向量关系与图形中相关关系的区别与联系，正确地将向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，关键点是考虑向量的方向性和移动性。4、一题多解的训练：解题方法的多样化来自线线关系和向量构成的多样性，学习过程中，对待每一个题目，审题时要善于从多个角度进行思考，寻找多种解题方法，加强知识间的相互联系，拓展自己的解题思路，提高自己的综合能力。