有限元分析

12教师、教材、参考书与课时安排教师：陈美霞Tel:15926285911Email:[e-mail]教材《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,20093参考书1、《有限元分析及应用》，曾攀，北京:清华大学出版社,20042、《有限元法基础及ANSYS应用》，黄国权主编，北京:机械工业出版社,20043、《有限元法基础》，蒋孝煜著，北京:清华大学出版社,19924、ANSYS实用操作手册及帮助文件4课时安排授课：32学时上机：8学时＋课后自己上机练习ANSYS软件考试安排这门课在第13周进行期末考试，形式为笔试，（开/闭）卷。主要考察有限元法的基本原理，方法，ANSYS软件基本操作等。平时作业：30％考试成绩：70％5学习目的有限元法做为一个有效的数值分析工具，在许多科学领域当中有成功的应用。本门课程主要有以下的目的：1)学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法。2)了解什么是有限元法，以及当前有限元软件的发展水平，学会用有限元软件ANSYS来分析一些工程问题。61-1工程和科学中典型问题在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。第一章绪论7如左下图所示平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的，但是求解右下图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。81-1工程和科学中典型问题第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题。尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。91-2场问题的一般描述---微分方程+边界条件1)应力场----弹性力学2)温度场----热传导3)电磁场----电磁学4)流速场----流体力学10A、B----微分算子（如对坐标或时间的微分）u----未知场函数，可为标量场（如温度），也可为矢量场（如位移、应变、应力等）()()()0AuAuAu12=在内...12()()()0...BuBuBu在上yx11数值计算方法分类特点优缺点差分法离散求解域；差分代替微分；解代数方程组要求规则边界，几何形状复杂时精度低等效积分法（加权余量法或泛函变分法）整体场函数用近似函数代替；微分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛函的变分，--求极值问题适合简单问题，复杂问题很难解决有限元法离散求解域；分片连续函数近似整体未知场函数；解线性方程组节点可任意配置，边界适应性好；适应任意支撑条件和载荷；计算精度与网格疏密和单元形态有关，精度可控121-3有限元法基本思想有限元分析的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是采用加权残值法或泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,2009P9-P10《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,2009P9-P10《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,2009P9-P10《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,2009P9-P10《有限元分析及应用》，胡于进、王璋奇，北京:清华大学出版社,2009P9-P10171-3有限元法基本思想先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数181-3有限元法基本思想基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线性方程组，引入边界条件求解该方程组即可。191-3有限元法基本思想节点单元xy()jjjxyjujv()mmmxymumv()iiixyiuiv20实例1(离散系统)结构离散123X2①②Y2首先分析单元1节点位移向量表示：节点力向量表示：111111122{}[,,,]Tuvuv111111122{}[,,,]TxyxyFFFFF21节点1沿x方向的位移、其余节点位移全为0时轴向压力为：1212xF①12yF11xF11yF22yF23yF2②312u12v11u11v22xF23xF111u11111()cosFAlAEEAlEAl22实例1（单元分析）•节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：121111111coscosxEFAFlk11111121sincossinyEAFlkF同理，节点2作用于单元1上的力，其大小与之相等，方向相反，x和y方向的分量分别记为：cos,xkAFEl1131212cossinyEAlkF141121注：表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。eijk23实例1（单元分析）2111111cosxFEAlk121111cossinyEAlFkcosxkEFAl1113122cossinyEAlkF141121注：表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。eijk1111112113114111121314111122232411111323334211111141112124342124xyxykkkkkkvkkkukkFFFkFvkukkk节点1沿x方向的位移、其余节点位移全为0时，单元1上在x和y方向的节点力分量分别为：u11124实例1（单元分析）同理可求分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为和实际位移为，则据各个节点节点力平衡得：111212uvv、、11111122,,,xyxyFFFF11111122,,,uvuv1111111213141111212223241111313233341111414243411111111121224121xyxykkkkkkkkkkFFkkukkkkvuvFF25单元2节点力平衡方程222FK单元1节点力平衡方程1111111111111121132142111111111121122123224211111111123113213323421111111112411421432442111xyxyFKFkukvkukvFkukvkukvFkukvkukvFkukvkukv:记为矩阵形式1111111213141111212223241111313233341111414243411111111121224121xyxykkkkkkkkkkFFkkukkkkvuvFF1212xF①12yF11xF11yF22yF23yF2②312u12v11u11v22xF23xF实例1（单元分析）2222111213142222212223242222313233342222414243421212121222224222xyxykkkkkkkkkkFFkkukkkkvuvFF26实例1（整体分析）•整体分析：作用于每个节点上的节点力平衡，即11,eexiiyiieeFXFY结合前式推导得：1212xF①12yF11xF11yF22yF23yF2②312u12v11u11v22xF23xF123X2①②Y21111111213131111212223241111313233341111414243412121211111122412000000000000000000000000xxxxkkkkukkkkkFFFFvuvkkkkkkk2222111213142222212223242222313233342222414243421212121222224222xyxykkkkkkkkkkFFkkukkkkvuvFF1111111213141111212223241111313233341111414243411111111121224121xyxykkkkkkkkkkFFkkukkkkvuvFF2222111213142222212223242222322121132333422224142432222222222244000000000000000000000000xxxxkkkkkuvkkkkkkkkkFFFkkuvF+=?27实例1（整体分析）•整体分析：作用于每个节点上的节点力平衡，即11,eexiiyiieeFXFY结合前式推导得：11111111121314111111212223241112122222313233113112131411121222241424321442223242222331323334222234142434400000000uXkkkkvYkkkkuXkkkkkkkkvYkkkkkkkkukkkkvkkkk233XY1212xF①12yF11xF11yF22yF23yF2②312u12v11u11v22xF23xF123X2①②Y228实例1（引入约束求解）将代入可得整体方程KR11330uvuv1212331134121212432142222242kuvkkkkkkYkX（边界条件）123X2①②Y2整体矩阵记为：11111111121314111111212223241112122222313233113112131411121222241424321442223242222331323334222234142434400000000uXkkkkvYkkkkuXkkkkkkkkvYkkkkkkkkukkkkvkkkk233XY29实例2（连续问题）通过材料力学求解和有限元求解进行比较30LxL-xL3L3L30udxXNNNx(a)(b)(c)图2-1EAq