重点中学高一分班考试数学试题

ABKHxyOl图11ABKHxyOl备用图FDEBACOGHAOCDPB重点中学新高一分班考试题（数学）考试时间：150分钟总分200+40分一.选择题（共10题计50分）1.一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111B.1000C.1001D.11112.右图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）3.如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D．若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2－10x＋3＝0的根，则AB的长等于（）2102A．23102B．C．8D．54.若正实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A、27B、18C、15D、125.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则bcabac的值为（）A.21B.22C.1D.26.已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心7.正整数n小于100，并且满足等式nnnn632，其中x表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有（）个A.2B.3C.12D.168.如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（）个展室。A.23B.22C.21D.209.如图，在直角坐标系xoy中，已知01A，，0B3，，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上.若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间的函数关系的图象为第8题图（1）第8题图（2）10.如图，O为矩形ABCD)(BCAB的中心，过O且互相垂直的两条直线被矩形四边怕截，设截得的线段法EF和GH长度分别为yx,，四边形EGFH的面积为S，当这两条直线保持垂直且围绕O点不停旋转时，下列说正确的是（）①某一阶段，y随x的增大面增大，y是x的正比例函数②某一阶段，y随x的增大面减小，y是x的反比例函数③仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大④仅当四边形EGFH的两条对角线长度相等时，S最小A、①②B、①③C、①②③D、①③④二.填空题（共10题，计70分）11．已知x是一元二次方程2310xx的实数根，那么代数式2352362xxxxx的值为．12已知M(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4四个数中任取的一个数．定义“点M(a，b)在直线x+y=n上”为事件Qn(2≤n≤7，n为整数)，则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为______．13.二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=．14.判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n=（n是整数，且1≤n＜7）．15.对于每个非零自然数n，抛物线2211(1)(1)nnnnnyxx与x轴交于An、Bn两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB的值是_________.16.如图，在平面直角坐标系中，有二次函数2333322yxx，顶点为H，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），易证点H、B关于直线l:333yx对称，且A在直线l上。过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两311224A．B．C．D．SSSDCBAtO1234213tO1234213tO12342133124321OtSyxOABCD第8题图（2）第8题图（1）DCBAOxy图9-17ABCC1A1B1LMKNQP·OQAPBCMN（图2）KDEFHGNMEFHDIOBCA个动点,连接HN、NM、MK,则HNNMMK的最小值为_______17...在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数214yxmxn的图象经过点(2,0)A和点3(1,)4B，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q.设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标1y随时间(tt≥0)的变化规律为1324yt.现以线段OP为直径作C.若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标2y随时间t的变化规律为213yt，则当t在什么范围内变化时，直线l与C相交?此时，若直线l被C所截得的弦长为a,则2a的最大值为18..已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE＝∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP＝2，PC＝3，CK:CF＝2:3，求DQ的长为19..如图，I为⊙O内接△ABC的内心，AI延长线交BC,BC分别于D,E，作EH⊥BC于H,EG⊥AB于G，EF⊥过点B的切线于F，过E作圆的切线交AC延长线于N，交BF于M，下列结论：①EB=EI;②四边形ANMB为梯形;③EH=EF;④222AC)(AB41AEEG;其中正确的个数有（）20.、点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图像上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为_________二解答与证明（共6题，计80分）21.证明：四边形外任意一点P均满足2222222222BDPDPBACPCPA是该四边形是平行四边形的充分必要条件（8分）22.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人？（8分）23.如图9-17，△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形。②求：△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。24.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．1.如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．2.若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．3.如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．26.设函数])1(lg[)(22xaaxxf的定义域区间为I,其中0a.(Ⅰ)求I的长度)(aL(注:区间(,)的长度定义为);(Ⅱ)判断函数)(aL的单调性,并用单调性定义证明;(Ⅲ)给定常数(0,1)k,当kka1,1时,求区间I长度)(aL的最小值.附加题：（40分）提示：请先完成前面的试题一.选择题（20分）1.适合方程cos97sin97tan17cos97sin97x的最小正整数x=2.已知直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2=a2+2a-3的交点为（x0，y0），当x0y0取最小值时，a=．二.解答题（20分）过抛物线22ypx(p为不等于2的素数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q.(1)求PQ中点R的轨迹C的方程;(2)证明：曲线C上有无穷多个整点，但C上任意整点到原点的距离均不是整数.BPADCQ图（1）BPADCQE