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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.5 一元二次不等式及其解法
大一轮复习讲义第一章集合、常用逻辑用语、不等式考试要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a≠0).知识梳理2判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1x2)有两个相等的实数根x1=x2=没有实数根2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系-b2aax2+bx+c0(a0)的解集_____________Rax2+bx+c0(a0)的解集_________________xx≠-b2a{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)0(0)⇔______________;(2)≥0(≤0)⇔________________________.fxgxfxgxf(x)g(x)0(0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0提示显然a≠0.ax2+bx+c0恒成立的条件是a0,Δ0;ax2+bx+c0恒成立的条件是a0,Δ0.1.二次函数的零点与一元二次方程的根,二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系?提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根,也是二次函数图象与x轴交点的横坐标.2.一元二次不等式ax2+bx+c0(0)恒成立的条件是什么?微思考(4)x-ax-b≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集.()×√×√基础自测2.已知集合A={x|x2-5x+40},B={x|x2-x-60},则A∩B等于A.(-2,3)B.(1,3)C.(3,4)D.(-2,4)题组二教材改编√解析由题意知A={x|1x4},B={x|-2x3},所以A∩B=(1,3).3.不等式-x2-3x+40的解集为________.(用区间表示)解析由-x2-3x+40可知,(x+4)(x-1)0,得-4x1.(-4,1)4.函数y=log2(3x2-2x-2)的定义域是____________________________.-∞,1-73∪1+73,+∞解析由题意,得3x2-2x-20,令3x2-2x-2=0,得x1=1-73,x2=1+73,∴3x2-2x-20的解集为-∞,1-73∪1+73,+∞.5.若关于x的不等式ax2+bx+20的解集是-12,13,则a+b=______.题组三易错自纠-14解析∵x1=-12,x2=13是方程ax2+bx+2=0的两个根,∴a4-b2+2=0,a9+b3+2=0,解得a=-12,b=-2,∴a+b=-14.6.若不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是______________________.解析由题意得Δ=a2-4×40,即a216.∴a4或a-4.(-∞,-4)∪(4,+∞)TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究命题点1不含参的不等式例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-3x-40},B={-4,1,3,5},则A∩B等于A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}√解析∵A={x|x2-3x-40}={x|(x+1)(x-4)0}={x|-1x4},B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3}.题型一一元二次不等式的求解多维探究(2)不等式≥0的解集为A.[-2,1]B.(-2,1]C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-2]∪(1,+∞)√解得-2x≤1.1-x2+x解析原不等式化为1-x2+x≥0,2+x≠0,即x-1x+2≤0,x+2≠0,命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10(a0).解原不等式变为(ax-1)(x-1)0,因为a0,所以x-1a(x-1)0.所以当a1时,解得1ax1;当a=1时,解集为∅;当0a1时,解得1x1a.综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1a;当a=1时,不等式的解集为∅;当a1时,不等式的解集为x1ax1.引申探究在本例中,把a0改成a∈R,解不等式.解当a0时,同例2,当a=0时,原不等式等价于-x+10,即x1,当a=1时,不等式的解集为∅,当a0时,1a1,原不等式可化为x-1a(x-1)0,解得x1或x1a.综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1a,当a1时,不等式的解集为x1ax1,当a=0时,不等式的解集为{x|x1},当a0时,不等式的解集为xx1a或x1.对含参的不等式,应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华跟踪训练1(1)已知不等式ax2-bx-10的解集是,则不等式x2-bx-a≥0的解集是_______________.故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0,解得x≥3或x≤2.x-12x-13{x|x≥3或x≤2}解析由题意,知-12,-13是方程ax2-bx-1=0的两个根,且a0,所以-12+-13=ba,-12×-13=-1a,解得a=-6,b=5.(2)解不等式12x2-axa2(a∈R).解原不等式可化为12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,不等式的解集为-∞,-a4∪a3,+∞;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a0时,不等式的解集为-∞,a3∪-a4,+∞.命题点1在R上的恒成立问题例3对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立,则实数a的取值范围是A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]题型二一元二次不等式恒成立问题多维探究√解析当a-2=0,即a=2时,-40恒成立;当a-2≠0,即a≠2时,解得-2a2.综上,实数a的取值范围是(-2,2].则有a-20,Δ=[-2a-2]2-4×a-2×-40,命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)5-m恒成立,则实数m的取值范围为__________.-∞,67解析要使f(x)-m+5在x∈[1,3]上恒成立,有以下两种方法:即mx-122+34m-60在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3].当m0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3),即7m-60,所以m67,所以0m67;当m=0时,-60恒成立;当m0时,g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1),即m-60,所以m6,所以m0.又因为m(x2-x+1)-60,综上所述,m的取值范围是-∞,67.方法二因为x2-x+1=x-122+340,所以m6x2-x+1.令y=6x2-x+1,因为函数y=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m67即可.所以m的取值范围是-∞,67.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2-mx-10对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为__________________.1-32,1+32解析设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则g10,g20,即x2-x-10,2x2-2x-10,解得1-32x1+32,故x的取值范围为1-32,1+32.(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方;对第二种情况,要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法).思维升华A.a-12或a12B.a12或a0C.a12D.-12a12跟踪训练2(1)若不等式ax2-x+a0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为解析当a=0时,-x0不恒成立,故a=0不合题意;√当a≠0时,a0,Δ0即a0,1-4a20.解得a12.(2)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是A.(-∞,4]B.(-∞,-5)C.(-∞,-5]D.(-5,-4)√解析令f(x)=x2+mx+4,∴x∈(1,2)时,f(x)0恒成立,∴f1≤0,f2≤0,即1+m+4≤0,4+2m+4≤0,解得m≤-5.一元二次方程根的分布情况拓展视野设方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ0)有不相等的两根为x1,x2,且x1x2,相应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c,方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).分布情况两个负根即两根都小于0(x10,x20)两个正根即两根都大于0(x10,x20)一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x10x2)大致图象(a0)得出的结论f(0)0表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)Δ0,-b2a0,f00Δ0,-b2a0,f00大致图象(a0)得出的结论f(0)0综合结论(不讨论a)a·f(0)0Δ0,-b2a0,f00Δ0,-b2a0,f00Δ0,-b2a0,a·f00Δ0,-b2a0,a·f00分布情况两根都小于k即x1k,x2k两根都大于k即x1k,x2k一个根小于k,一个根大于k即x1kx2大致图象(a0)得出的结论f(k)0表二:(两根与k的大小比较)Δ0,-b2ak,fk0Δ0,-b2ak,fk0大致图象(a0)得出的结论f(k)0综合结论(不讨论a)a·f(k)0
本文标题:2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.5 一元二次不等式及其解法
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