2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3.3　导数与函数的极值、最值

大一轮复习讲义第三章导数及其应用考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.函数的极值与导数知识梳理条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0图象极值f(x0)为_______f(x0)为______极值点x0为__________x0为________极大值极小值极大值点极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？微思考提示必要不充分.2.函数的极大值一定大于极小值吗？提示不一定.函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值.题组一思考辨析基础自测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(2)函数的极小值一定是函数的最小值.()(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.()(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点.()×××√题组二教材改编2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为A.1B.2C.3D.4解析由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.√3.当x0时，lnx，x，ex的大小关系是_________.可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－10，所以lnxx.同理可得xex，故lnxxex.lnxxex解析构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1，4.现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_____.则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，227a3解析容积V＝(a－2x)2x,0xa2，由V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，则x＝a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝227a3.题组三易错自纠5.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是A.(－∞，－6]∪[6，＋∞)B.(－∞，－6)∪(6，＋∞)C.(－6，6)D.[－6，6]√解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×20，解得a6或a－6.6.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.134解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究题型一利用导数求函数的极值问题多维探究命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.f(x)有两个极值点B.f(0)为函数的极大值C.f(x)有两个极小值D.f(－1)为f(x)的极小值√√解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(－2,0)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(0,1)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，∴f′(x)0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增.故AD错误，BC正确.命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值.解因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2x2－ax.①当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.②当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去).所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna.无极大值.综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值.当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna，无极大值.命题点3已知极值(点)求参数例3(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝____.11解析f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得f′－1＝0，f－1＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，所以a＝1，b＝3不符合题意，当a＝2，b＝9时，经检验满足题意.∴a＋b＝11.(2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_______.0，12解析f(x)＝x(lnx－ax)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx－2ax.由题意知，当x0时，1＋lnx－2ax＝0有两个不相等的实数根，即2a＝1＋lnxx有两个不相等的实数根，令φ(x)＝1＋lnxx(x0)，∴φ′(x)＝－lnxx2.当0x1时，φ′(x)0；当x1时，φ′(x)0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x→0时，φ(x)→－∞，当x→＋∞时，φ(x)→0，则02a1，即0a12.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域.②求导数f′(x).③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根.④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1(1)(2020·滨州模拟)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是A.(1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，1)√解析f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.设g(x)＝(x－1)(x－a).①当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值.②当a1时，当xa或x1时，g(x)0，f′(x)0；当1xa时，g(x)0，则f′(x)0.∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不符合题意.③当a1时，当x1或xa时，f′(x)0，当ax1时，f′(x)0.所以x＝1是f(x)的极小值点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).(2)若函数f(x)＝x2－x＋alnx有极值，则实数a的取值范围是_________.－∞，18解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋ax＝2x2－x＋ax，由题意知y＝f′(x)有变号零点，令2x2－x＋a＝0，即a＝－2x2＋x(x0)，令φ(x)＝－2x2＋x＝－2x－142＋18(x0)，其图象如图所示，故a18.题型二利用导数求函数的最值师生共研例4已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R).(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；解∵a＝1，∴g(x)＝lnx＋x2－3x，∴g′(x)＝1x＋2x－3＝2x－1x－1x，∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，∴g(x)在[1，e]上单调递增，∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a).解g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝ax＋2x－(a＋2)＝2x2－a＋2x＋ax＝2x－ax－1x.①当a2≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；②当1a2e，即2a2e时，g(x)在1，a2上单调递减，在a2，e上单调递增，h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；③当a2≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.综上，h(a)＝－a－1，a≤2，alna2－14a2－a，2a2e，1－ea＋e2－2e，a≥2e.(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.思维升华跟踪训练2已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；解易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋1x＝1－xx，令f′(x)＝0，得x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.解f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，＋∞.∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意.①若a≥－1e，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，②若a－1e，令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得0x－1a；令f′(x)0得a＋1x0，结合x∈(0，e]，解得－1ax≤e.从而f(x)在0，－1a上单调递增，在－1a，e上单调递减，∴f(x)max＝f－1a＝－1＋ln－1a.令－1＋ln－1a＝－3，得ln－1a＝－2，即a＝－e2.∵－e2－1e，∴a＝－e2为所求.故实数a的值为－e2.KESHIJINGLIAN课时精练1.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是A.x＝1B.x＝－1C.x＝1或－1或0D.x＝012345678910111213141516基础保分练解析f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1.√123456