【新高考复习】3 第3讲　二项式定理　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)2x2－x43的展开式中的常数项为()A．－32B．32C．6D．－6解析：选D.通项Tr＋1＝Cr32x23－r(－x4)r＝Cr3(2)3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为()A．50B．55C．45D．60解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C45＋C46＋C47＝55.故选B.3.2x2＋1x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：选D.通项公式Tr＋1＝Cr5(2x2)5－r1xr＝25－rCr5x10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2.所以2x2＋1x5的展开式中x4的系数＝23·C25＝80.故选D.4．(2019·河北石家庄模拟)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为()A．－5B．－15C．－25D．25解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C35(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C35＝－15.故选B.5．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝1×（2n＋1－1）2－1＝2n＋1－1.6．(2019·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：选A.由题意得C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.7．(2019·辽宁沈阳模拟)(x2＋2)1x－15展开式中的常数项是()A．12B．－12C．8D．－8解析：选B.1x－15展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr51x5－r(－1)r＝(－1)rCr5xr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C35＋2(－1)5C55＝－12.故选B.8．(2019·太原模拟)x＋1x＋15展开式中的常数项为()A．1B．21C．31D．51解析：选D.因为x＋1x＋15＝（x＋1）＋1x5＝C05(x＋1)5＋C15(x＋1)4·1x＋C25(x＋1)3·1x2＋C35(x＋1)2·1x3＋C45(x＋1)1·1x4＋C551x5.所以x＋1x＋12展开式中的常数项为C05·C55·15＋C15·C34·13＋C25·C13·12＝51.故选D.9．若二项式(x2＋ax)7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为()A．560B．－560C．280D．－280解析：选A.取x＝1，得二项式(x2＋ax)7的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，1＋a＝－1，a＝－2.二项式x2－2x7的展开式的通项Tr＋1＝Cr7·(x2)7－r·－2xr＝Cr7·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式(x2－2x)7的展开式中含x2项的系数为C47·(－2)4＝560，选A.10．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析：选B.(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，所以a＝Cm2m.同理，b＝Cm＋12m＋1.因为13a＝7b，所以13·Cm2m＝7·Cm＋12m＋1.所以13·（2m）！m！m！＝7·（2m＋1）！（m＋1）！m！.所以m＝6.11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB.3n－12C．2n＋1D.3n＋12解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝f（1）＋f（－1）2＝3n＋12.12．(2019·陕西部分学校摸底考试)已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为()A．39B．310C．311D．312解析：选D.对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.13．(2019·广州市调研测试)已知(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．解析：法一：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(2＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(2－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋2)4×(2－2)4＝[(2)2－22]4＝16.法二：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以根据二项式定理得a0＝4，a1＝162，a2＝48，a3＝322，a4＝16.故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(162＋322)2＝16.答案：1614.x2＋1x＋25(x0)的展开式中的常数项为________．解析：x2＋1x＋25(x0)可化为x2＋1x10，因而Tr＋1＝Cr101210－r(x)10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C510·125＝6322.答案：632215．(2019·山东枣庄模拟)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a＝________．解析：x＋1x10的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C310.令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C210.所以(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为C310－aC210＝30，解得a＝2.答案：216．在二项式x－1xn的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是________．解析：由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8，所以二项式x－1x8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8x8－r·(－x－1)r＝(－1)rCr8x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C38＝－56.答案：－56[综合题组练]1．已知C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，则C1n＋C2n＋…＋Cnn的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：选C.因为C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n－1＝26－1＝63，故选C.2．二项式1x－2x29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为()A．－671B．671C．672D．673解析：选B.令x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr91x9－r·(－2x2)r＝Cr9(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中的常数项为C39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671，故选B.3．(应用型)487被7除的余数为a(0≤a7)，则x－ax26展开式中x－3的系数为()A．4320B．－4320C．20D．－20解析：选B.487＝(49－1)7＝C07·497－C17·496＋…＋C67·49－1，因为487被7除的余数为a(0≤a7)，所以a＝6，所以x－6x26展开式的通项为Tr＋1＝Cr6·(－6)r·x6－3r，令6－3r＝－3，可得r＝3，所以x－6x26展开式中x－3的系数为C36·(－6)3＝－4320.4．(创新型)(2019·湖南永州模拟)设a＝012xdx，则二项式ax2－1x6的展开式中的常数项为________．解析：a＝012xdx＝x210＝1，则二项式ax2－1x6＝x2－1x6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·－1xr＝(－1)rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为(－1)4C46＝15.答案：155．(应用型)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)因为a0＝C07＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.6．(应用型)已知x＋124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C0n，12C1n，14C2n，由已知得2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得n＝8(n＝1舍去)．(2)x＋124x8的展开式的通项Tr＋1＝Cr8(x)8－r·124xr＝2－rCr8x4－3r4(r＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rCr8，则ar＋1ar＝2－rCr82－（r－1）Cr－18＝9－r2r≥1，ar＋1ar＋2＝2－rCr82－（r＋1）Cr＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.