【新高考复习】6 第6讲　离散型随机变量及其分布列　新题培优练

[基础题组练]1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝Ck7C10－k8C1015，故k＝4，故选C.2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a13k，k＝1，2，3，则a的值为()A．1B.913C.1113D.2713解析：选D.因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a13k，k＝1，2，3，所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，所以a13＋19＋127＝a×1327＝1，所以a＝2713.3．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa1316若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于()A.13B.16C.12D.56解析：选D.由分布列的性质，得a＋13＋16＝1，所以a＝12.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤1)＝12＋13＝56.4．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为()A.ξ123P131313B.ξ1234P1101531025C.ξ123P35310110D.ξ123P11031035解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝C24C35＝35，P(ξ＝2)＝C23C35＝310，P(ξ＝3)＝C22C35＝110，故选C.5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%解析：选B.设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝C1x·C110－xC210＝x（10－x）45＝1645，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为210＝20%.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：458．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.答案：272209．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列．解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，所以C2n＝6，即n（n－1）2＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝824＝13，P(X＝4)＝1－124－14－13＝38，所以随机变量X的分布列为X0234P12414133810.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0，1，2，3)．所以随机变量X的分布列是X0123P1612310130[综合题组练]1．(2019·长春质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量[0，1000](1000，3000](3000，＋∞)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000，3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为1236×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0，1000]内的有1节，点击量在区间(1000，3000]内的有3节，故X的可能取值为0，20，40，60.P(X＝0)＝1C26＝115，P(X＝20)＝C13C12C26＝615＝25，P(X＝40)＝C12＋C23C26＝515＝13，P(X＝60)＝C13C26＝315＝15，故X的分布列为X0204060P1152513152.(2019·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示．(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列．解：(1)由题意知105＋107＋113＋115＋119＋126＋（120＋x）＋132＋134＋14110＝122，解得x＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ2的所有可能取值为0，1，2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0，1，2，3，4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P(η＝0)＝C27C26C210C210＝745；P(η＝1)＝C17C13C26＋C27C14C16C210C210＝91225；P(η＝2)＝C23C26＋C27C24＋C17C13C16C14C210C210＝13；P(η＝3)＝C23C16C14＋C17C13C24C210C210＝22225；P(η＝4)＝C23C24C210C210＝2225.所以η的分布列为η01234P74591225132222522253．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50，100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)，且f(x)＝n10－0.4，10n≤x10（n＋1），n＝5，6，7，－n5＋b，10n≤x＜10（n＋1），n＝8，9.考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50，60)内的成绩记为1分，考试分数在[60，70)内的成绩记为2分，考试分数在[70，80)内的成绩记为3分，考试分数在[80，90)内的成绩记为4分，考试分数在[90，100)内的成绩记为5分．在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率)．(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；(2)求P(ξ＝7)；(3)求ξ的分布列．解：(1)因为f(x)＝n10－0.4，10n≤x10（n＋1），n＝5，6，7，－n5＋b，10n≤x＜10（n＋1），n＝8，9.所以510－0.4＋610－0.4＋710－0.4＋－85＋b＋－95＋b＝1，所以b＝1.9.估计该班的考试平均分数为510－0.4×55＋610－0.4×65＋710－0.4×75＋－85＋1.9×85＋－95＋1.9×95＝76(分)．(2)由题意可知：考试成绩记为1分，2分，3分，4分，5分的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P(ξ＝7)＝C23C11＋C13C22C36＝310.(3)ξ＝5，6，7，8，9，P(ξ＝5)＝C11C22C36＝120，P(ξ＝6)＝C11C12C13C36＝310，P(ξ＝7)＝310，P(ξ＝8)＝C23C12C36＝310，P(ξ＝9)＝C33C36＝120.ξ的分布列为ξ56789P120310310310120