【新高考复习】专题02 函数-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

专题02函数易错点1换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13fxx＝，求f（x）的解析式.【错解】令1xt，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“1x”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．【试题解析】令1xt，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0），即f（x）＝2－x2（x≥0）．【参考答案】f（x）＝2－x2（x≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知12fxxx，则fxA．211xxB．21xC．211xxD．21x注意：用t替换后，要注意t的取值范围为1t，忽略了这一点，在求fx时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：21221111fxxxxxx，又11x，所以211fxxx．故选A．易错点2分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xxxfxx,则满足()()2afffa＝的a的取值范围是A．2[,1]3B．[0,1]C．2[,)3D．[1，＋∞）【错解】当a1时，f（a）＝3a－1，此时f（f（a））＝3（3a－1）－1＝9a－4，3122afa－＝，方程无解．当a≥1时，21afa＝，此时22222aaafffa＝，＝，方程恒成立，故选D．【错因分析】对字母a的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a－1与1的大小进行探讨，即参数a的分界点应该有2个，a＝23或a＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a时，311faa＝－，331()194ffaaa＝－－＝－,3122afa－＝，显然()2faffa.②当23≤a1时，311faa＝－，31,31222aafaffa－－＝＝，故2afffa＝.③当1a时，21afa＝，22affa＝，222aaf＝，故2afffa＝.综合①②③知a≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f（x0）时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数21,022,04xaxfxxxx的值域是8,1，则实数a的取值范围是A．,3B．3,0C．3,1D．3【答案】B易错点3对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f（x）＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a的取值范围是________.【错解】函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f（x）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，所以有－a＝2，即a＝－2.【参考答案】a＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2212fxxax在区间,5上为减函数，则实数a的取值范围为__________．【解析】∵函数2212yxax的图象是开口方向朝上，以直线1xa为对称轴的抛物线，若函数2212yxax在区间,5上是减函数，则51a，即4a．【答案】4a易错点4忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝（x－1）x＋1x－1；（2）f（x）＝1－x2|x＋2|－2.【错解】（1）f（x）＝（x－1）·x＋1x－1＝x2－1.∵2()()()1ffxxx==，∴f（x）为偶函数．（2）221()1|2|(2)2||2xxfxxx＝＝，∵f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．【试题解析】（1）由x＋1x－1≥0得{x|x＞1，或x≤－1}，∵f（x）定义域关于原点不对称，∴f（x）为非奇非偶函数．（2）由1－x2≥0|x＋2|－2≠0得－1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f（x）＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，∵221(())1()xxfxfxxx＝＝，∴f（x）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法（1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数为奇函数的是A．lnyxB．exyC．sinyxxD．eexxy【解析】对于选项A，定义域为0,，不关于原点对称，故不是奇函数，所以选项A错；对于选项B，1eexxfxfx，故不是奇函数，所以选项B错；对于选项C，sinsinsinfxxxxxxxfx，所以sinyxx为偶函数，故选项C错；对于选项D，eeeexxxxfxfx，所以函数eexxy为奇函数，故选项D正确.故选D.【答案】D判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找fx与fx的关系，若fxfx，则函数fx为偶函数；若fxfx，则函数fx为奇函数.易错点5因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）12]12＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）12]12＝（1－a）（a－1）－1·（－a）14＝－（－a）14.【错因分析】忽略了题中有（－a）12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]12≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a，则必须有－a≥0，即a≤0.5．化简式子66(0,0)baab的结果是__________．【解析】因为0a，0b，所以0,ab又因为结果一定非负，所以66baab，故答案为ab．【答案】ab易错点6忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A．（－∞，5）B．（2,5）C．（2，＋∞）D．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a0，∴a5.故选A．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．【试题解析】由题意，得5－a0，a－20，a－2≠1，∴2a3或3a5.故选D．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．方程2lg21lg4xx的解是__________．【解析】由题意知2221421040xxxx，解得3x或1x（不合题意，舍去），故3x.【答案】3x易错点7复合函数理解不到位出错已知函数y＝log2（x2－x－a）的值域为R，求实数a的取值范围.【错解】设f（x）＝x2－x－a，则y＝log2f（x），依题意，f（x）0恒成立，∴Δ＝1＋4a0，∴a－14，即a的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2（x2－x－a）值域为R的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y＝log2（x2－x－a）的值域才为R.而当Δ0时，f（x）0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x轴有交点（但此时定义域不再为R）．1．求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.函数单调性y＝f（μ）增函数增函数减函数减函数μ＝g（x）增函数减函数增函数减函数y＝f[g（x）]增函数减函数减函数增函数7．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．【解析】（1）欲使函数f(x)的定义域为R，只需ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有0=440aa＞，解得a＞1，即得a的取值范围是(1，＋∞).（2）欲使函数f(x)的值域为R，即要ax2＋2x＋1能够取到(0，＋∞)上的所有值．①当a＝0时，ax2＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－21，＋∞)时满足要求；②当a≠0时，应有0440aa＞＝0＜a≤1，当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时满足要求(其中x1，x2是方程ax2＋2x＋1＝0的两根)．综上，a的取值范围是[0，1]．【参考答案】（1）(1，＋∞)；（2）[0，1]．注意y＝lg（ax2＋2x＋1）的值域为R与u＝ax2＋2x＋1恒为正不一样．前者要求函数u＝ax2＋2x＋1能取遍一切正实数，后者只要求u＝ax2＋2x＋1取正时，对应的x∈R即可．易错点8零点存在性定理使用条件不清致误函数1()fxxx的零点个数为A．0B．1C．2D．3【错解】因为(1)20f，(1)20f，所以函数()fx有一个零点，故选B．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()fxxx的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()fx的定义域为{|0}xx，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx.所以函数()fx没有零点，故选A．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．函数33xfxax的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是A．151,2B．3,6C．0,6D．150,2【解析】由基本初等函数的性质，可得函数33xfxax单调递增,函数33xfxax的一个零点在区间1,2内，由题意可得1020ff，解得1502a.故选D．【答案】D一、函数（1）映射：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射.（2）函数：非空数集A非空数集B的映射，其要素为定