【新高考复习】第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养立意下的命题导向1.理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养．2．了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．公理1～3文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[提醒]公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．3．空间中两条直线的位置关系(1)位置关系分类：位置关系共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行公理(公理4)和等角定理：①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：0，π2.5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与直线的位置关系)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．2．(确定平面的依据)下列命题正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析：选DA选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．3．(异面直线所成角)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.4．(平面的基本性质及推论)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．二、易错点练清1．(误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选DA、B、C中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知D说法正确．2．(忽视直线在平面内)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：选D将直线与平面放在正方体中，易知b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．3．(忽视异面直线所成角的范围)如图所示，已知在长方体ABCD­EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________；AE和BG所成角的大小是________．解析：∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝EFFG＝1，∴∠EGF＝45°.∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝GFBF＝232＝3，∴∠GBF＝60°.答案：45°60°考点一平面的基本性质及应用[典例]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α.所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点．[方法技巧]1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[针对训练]1.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A，M，O三点共线．2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．考点二空间两条直线的位置关系[典例](1)(多选)下列结论正确的是()A．在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行B．平行于同一条直线的两条直线平行C．一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交D．空间中四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c(2)已知α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行[解析](1)若两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面，A错误；由公理4可知B正确；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面，C错误；由平行直线的传递性可知D正确．故选B、D.(2)∵α是一个平面，m，n是两条不同的直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，∴A在平面α内，m与平面α相交．∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(特殊情况可垂直)，但一定不平行．[答案](1)BD(2)D[方法技巧]空间两直线位置关系的判定方法[针对训练]1．(多选)(2021年1月新高考八省联考卷)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE解析：选BCD还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由EH綊BC，可得CH∥BE，故选项B正确；正方体中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG∥AH且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．2．(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中()A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直解析：选BCD还原成正四面体A­DEF如图所示，其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面．连接GM，∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角．由图易得DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE，因此正确的选项是B、C、D.考点三异面直线所成的角[典例](1)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AA1＝2AB，D是AA1的中点，则BD与A1C1所成角的余弦值为()A.12B.24C.22D.223(2)(2021·岳阳联考)在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.105B.31010C.155D.1010[解析](1)如图，取CC1的中点M，连接DM，BM.由于D为AA1的中点，所以DM∥A1C1，所以∠BDM或其补角为异面直线BD与A1C1所成的角．设AA1＝2AB＝2，则AD＝AB＝1.因为三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，所以BD＝2，DM＝1，BM＝2.在△BDM中，cos∠BDM＝BD2＋DM2－BM22BD·DM＝22＋12－222×2×1＝24，故选B.(2)如图，在平面BCD内，过点D作BC的平行线与过点B所作CD的平行线相交于E，连接AE，则四边形BCDE为平行四边形，所以DE＝BC＝2，且∠ABE或其补角为异面直线AB与CD所成的角．因为AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面BCD，则AD⊥DE，所以AE＝AD2＋DE2＝5，易知AB＝AD2＋BD2＝2.因为BD⊥BC，所以DC＝BD2＋BC2＝5，则BE＝CD＝5，于是在△ABE中，由余弦定理，得cos∠ABE＝AB2＋BE2－AE22AB·BE＝2＋5－522×5＝1010，故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]平移法求异面直线所成角的步骤平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角[针对训练]1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为()A.1414B.8314C.1313D.13解析：选A∵C1D1∥A1B1，∴异面直