第三节 第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系 课件

第2课时精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系一、真题集中研究——明考情1．(2020·全国卷Ⅰ·考查弦长问题)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9.设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.因为(1－3)2＋22＜9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝3－12＋0－22＝22，所以|BD|min＝2r2－d2＝232－222＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.答案：B2．(2020·全国卷Ⅲ·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋12C．y＝12x＋1D．y＝12x＋12解析：设直线l在曲线y＝x上的切点为(x0，x0)，则x00，函数y＝x的导数为y′＝12x，则直线l的斜率k＝12x0.设直线l的方程为y－x0＝12x0(x－x0)，即x－2x0y＋x0＝0.由于直线l与圆x2＋y2＝15相切，则x01＋4x0＝15，两边平方并整理得5x20－4x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－15(舍去)，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝12x＋12.答案：D3．(2020·全国卷Ⅰ·考查直线与圆的位置关系)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝|2×1＋1＋2|22＋12＝5＞2，所以直线l与圆相离．由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S△PAM＝4×12×|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝|MP|2－4，答案：D当直线MP⊥l时，|MP|min＝5，|PA|min＝1，此时|MP|·|AB|最小．易知直线MP的方程为y－1＝12(x－1)，即y＝12x＋12.由y＝12x＋12，2x＋y＋2＝0，解得x＝－1，y＝0.所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选D.4．(2018·全国卷Ⅲ·考查距离问题、直线与圆的位置关系)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．答案：A[把脉考情]常规角度1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题创新角度与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题二、题型精细研究——提素养题型一求圆的方程[典例](1)(2021·海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为__________________________________________．[解析](1)到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，解得x＝－3，y＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.(2)法一：几何法∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝|2a|2，∴d2＋(7)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.法二：待定系数法设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为|a－b|2，∴r2＝a－b22＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.法三：待定系数法设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①圆心－D2，－E2到直线y＝x的距离为d＝－D2＋E22，由已知得d2＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②又圆心－D2，－E2在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③联立①②③，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.[答案](1)C(2)x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0[方法技巧]1．求圆的方程的2种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[针对训练]1．(2021·福州模拟)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r0)相交于A，B两点，若AB＝6，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，则d＝|3－8－15|5＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选A.答案：A2．(2021·唐山模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝32，由两圆相外切可得R＋22＝d＝32，∴R＝2.∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝2题型二弦长问题[典例](1)(2021·河北七校联考)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csinC＝3asinA＋3bsinB，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()A．46B．26C．6D．5(2)过点(1,1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为__________．[解析](1)因为asinA＝bsinB＝csinC.故由csinC＝3asinA＋3bsinB可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0,0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2232－32＝6，故选C.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)．由|AB|＝4，得|k－2|1＋k2＝5，解得k＝－12，所以直线l的方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案](1)C(2)x＋2y－3＝0[方法技巧]解决有关弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2r2－d2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝1＋k2·xA＋xB2－4xAxB＝1＋1k2·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用[针对训练]1．(2021·烟台模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝3及直线l：ax＋y－2a－2＝0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．解析：由l：ax＋y－2a－2＝0得a(x－2)＋y－2＝0，∴不论a取何值，直线l恒过点P(2,2)．∵12＋12＝23，∴点P(2,2)在圆C内．故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kCP＝－1，∴kl＝1，故直线l的方程为x－y＝0.答案：x－y＝02．(2021·南通一模)函数f(x)＝xlnx＋a的图象在x＝1处的切线被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得的弦长为2，则实数a的值为________．解析：∵f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝1＋lnx，则切线的斜率k＝f′(1)＝1，∵f(1)＝a，∴切点坐标为(1，a)，∴函数f(x)＝xlnx＋a的图象在x＝1处的切线方程为y＝x＋a－1.又∵圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为3，∴圆心到直线x－y＋a－1＝0的距离d＝|2＋a|2，∵切线被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得的弦长为2，则|2＋a|22＋12＝32，∴a＝－6或2.答案：－6或2题型三切线问题[典例]已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解](1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切