【新高考复习】课时跟踪检测（五十六） 随机变量的分布列、均值与方差 作业

课时跟踪检测（五十六）随机变量的分布列、均值与方差1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．6解析：选CX的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m23k(k＝1,2,3)，则m的值为()A.1738B．2738C.1719D．2719解析：选B由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×23＋m×232＋m×233＝38m27＝1，∴m＝2738.3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于()A.15B．25C.35D．45解析：选DP(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－C14C22C36＝45.4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝()X02aP16p13A．2B．3C．4D．5解析：选C因为p＝1－16－13＝12，所以E(X)＝0×16＋2×12＋a×13＝2，解得a＝3，所以D(X)＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.5．一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5解析：选A摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－3×C22＋C23C25＋1×C12C13C25＝0.2.6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为()A．1B．1.5C．2D．2.5解析：选BX可取0,1,2,3，P(X＝0)＝C36C36×C36＝120，P(X＝1)＝C16×C25×C23C36×C36＝920，P(X＝2)＝C26×C14×C13C36×C36＝920，P(X＝3)＝C36C36×C36＝120，故E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为()A.24181B．26681C.27481D．670243解析：选B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为232＋132＝59.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝59，P(ξ＝4)＝49×59＝2081，P(ξ＝6)＝492＝1681，所以E(ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.故选B.8．设0p1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p212p2则当p在(0,1)内增大时()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小解析：选D由题意知E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，D(ξ)＝0－p＋122×1－p2＋1－p＋122×12＋2－p＋122×p2＝p＋122×1－p2＋p－122×12＋32－p2×p2＝12p＋122＋12p－122－p2p＋122＋p232－p2＝122p2＋12－p2p＋122－p－322＝p2＋14－p(2p－1)＝－p2＋p＋14＝－p－122＋12，∴D(ξ)在0，12上递增，在12，1上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.9．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，∴－13≤d≤13.答案：23－13，1310．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.解析：由题意可知，P(ξ＝2)＝C13C12C14＋C23C22C24C26＝310.答案：31011．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量x(个)20304050天数510105(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝3203.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝C230，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝C210，∴2天的日需求量均为40个的概率P＝C210C230＝329.(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，P(Y＝－20)＝16，P(Y＝60)＝13，P(Y＝140)＝13，P(Y＝180)＝16，∴Y的分布列为Y－2060140180P16131316E(Y)＝－20×16＋60×13＋140×13＋180×16＝2803.∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝3203，28033203，∴此建议不该被采纳．12．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．解：(1)由条形统计图知，该批次产品长度误差的绝对值X的分布列为X00.010.020.030.04P0.40.30.20.0750.025所以X的数学期望E(X)＝0×0.4＋0.01×0.3＋0.02×0.2＋0.03×0.075＋0.04×0.025＝0.01025.(2)由(1)可知标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B，则P(B)＝1－352＝1625＝0.64＜0.8，故不符合概率不小于0.8的要求．设生产一件产品为标准长度的概率为x，由题意知P(B)＝1－(1－x)2≥0.8，又0＜x＜1，解得1－55≤x＜1.所以概率的最小值为1－55.13．某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：家庭编号123456月收入x(千元)203035404855月支出y(千元)4568811(1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)；(2)从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千元的家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．参考公式：回归直线的方程是：y^＝b^x＋a^，其中，b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.解：(1)因为x＝20＋30＋35＋40＋48＋556＝38，y＝4＋5＋6＋8＋8＋116＝7，∑6i＝1xiyi＝20×4＋30×5＋35×6＋40×8＋48×8＋55×11＝1749，∑6i＝1x2i＝202＋302＋352＋402＋482＋552＝9454，b^＝1749－6×38×79454－6×382≈0.2，a^＝y－b^x＝7－0.2×38＝－0.6，所以月支出y关于x月收入的线性回归方程是y^＝0.2x－0.6.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C33·C03C36＝120，P(ξ＝1)＝C23·C13C36＝920，P(ξ＝2)＝C13·C23C36＝920，P(ξ＝3)＝C03·C33C36＝120.故ξ的分布列为ξ0123P120920920120数学期望E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.