【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.1　集　合

§1.1集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA微思考1．若一个集合A中有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？提示子集：2n，真子集：2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)题组二教材改编2．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋103x}，则下列结论正确的是()A．22∉AB．8⊆AC．{4}∈AD．{0}⊆A答案AD3．已知集合P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，若P＝Q，则a＝________.答案04.设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁UA＝{x|x2或x0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．已知集合A＝{x|x－a0}，B＝{x|x1}，若AB，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.题型一集合的含义与表示1．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉AB．－11∉AC．3k2－1∈AD．－34∈A答案BCD解析当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．2．已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为()A．3B．4C．5D．6答案C解析当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3时，即a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3时，即a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2,1，－3}，综上，a＝0或1.4．已知a，b∈R，若a，ba，1＝{}a2，a＋b，0，则a2021＋b2021＝________.答案－1解析由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a＝－1，所以a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝－1.思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．题型二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0x5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．答案4解析由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1m＋1，解得m2，②当B≠∅时，2m－1≤m＋1，2m－1≥－3，m＋1≤4，解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练1(1)(八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)等于()A．∅B．MC．ND．R答案B解析画Venn图即可，注意最后求并集．(2)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋1}，若AB，则实数m的取值范围是________．答案[2,4]解析A＝{x|(x＋1)(x－5)≤0}＝{x|－1≤x≤5}，∵AB，∴m－5≤－1，2m＋15或m－5－1，2m＋1≥5，解得2≤m≤4.题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例2(1)(2020·新高考全国Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2x4}，则A∪B等于()A．{x|2x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x4}D．{x|1x4}答案C解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2x4}＝{x|1≤x4}．(2)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B可以是________．(只要写出一个即可)答案{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}解析A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∪B＝{0,1,2}，∴0∈B，∴集合B可以是{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例3(1)已知集合A＝{x|x2－3x0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a0，解得0a3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于()A．－4B．－2C．2D．4答案B解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤－a2.由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－a2＝1，所以a＝－2.[高考改编题]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．a－2B．a≤－2C．a－4D．a≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤－a2，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．可知－a2≥2，即a≤－4.思维升华(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．跟踪训练2(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|2x4}，B＝{x|(x－1)(x－3)0}，则(∁UA)∩B等于()A．(1,2)B．(1,2]C．(1,3)D．(－∞，2]答案B解析A＝{x|2x4}＝{x|x2}，∁UA＝{x|x≤2}，B＝{x|1x3}．∴(∁UA)∩B＝{x|1x≤2}．(2)设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1a≤2B．a2C．a≥－1D．a－1答案D解析在数轴上画出集合A，B(如图)，观察可知a－1.题型四集合的新定义问题例4(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．素养提升解决集合新定义问题的关键是(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．跟踪训练3(2021·长沙模拟)定义一种新的集合运算※：A※B＝{x|x∈A且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算※，B※A等于()A．{x|3x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3x4}D．{x|2≤x≤4}答案B解析由题意知，A＝{x|1x3}，在数轴上表示出A，B的区间，可得B※A＝{x|3≤x≤4}．课时精练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁U