【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.3　幂函数与二次函数

§2.3幂函数与二次函数考试要求1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，12yx的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x312yxy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称微思考1．幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？提示幂函数y＝xα(α为常数)，当x0时，y0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不过第四象限．2．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数133yx是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b24a.(×)(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(√)题组二教材改编2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B．1C.32D．2答案C解析由幂函数的定义，知k＝1，22＝k·12α.∴k＝1，α＝12.∴k＋α＝32.3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．bcaD．acb答案D4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．答案[－1,3]解析由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，得g(x)在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，所以g(x)min＝g(1)＝－1，因为g(0)＝0，g(3)＝3，所以g(x)在x∈[0,3]上的值域为[－1,3]．题组三易错自纠5．幂函数21023()aafxx(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，2(5)2()afxx(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－20，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.6．函数y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪[4，＋∞)解析函数y＝x2－ax＋1的对称轴为x＝a2，则a2≤－1或a2≥2，解得a≤－2或a≥4.题型一幂函数的图象与性质1．若幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)答案D解析设f(x)＝xα，则2α＝14，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．已知幂函数223(2())2nnfxnnx－＝＋－(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1m0n1B．－1n0m12C．－1m0n12D．－1n0m1答案D解析幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0α1时，图象上凸，∴0m1.当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－12n，则－1n0.综上可知，－1n0m1.4．若11331(32)()aa＋，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－1)∪23，32解析不等式11331(32)()aa＋等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得a－1或23a32.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α0,0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．题型二求二次函数的解析式例1(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)答案f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．答案f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.答案x2＋2x＋1解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.答案－4x2＋4x＋7解析方法一(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用顶点式)因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2＋－12＝12.又根据题意函数有最大值8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．①b24ac；②c0；③ac0；④b0；⑤a－b＋c0.答案①②⑤解析由题图知，a0，－b2a0，c0，∴b0，ac0，故②正确，③④错误．又函数图象与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac0，故①正确；又由题图知f(－1)0，即a－b＋c0，故⑤正确．命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3,0)B．(－∞，－3]C．[－2,0]D．[－3,0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知a0，3－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3,0]．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.答案－3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0，又3－a2a＝－1，∴a＝－3.命题点3二次函数的值域、最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；(3)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练2(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f(2)，f－32，f(3)的大小关系是()A．f(2)f－32f(3)B．f－32f(2)f(3)C．f(3)f(2)f－32D．f(2)f(3)f－32答案D解析由已知可得二次函数f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，∵－32－1|3－1||2－1|，∴f(2)f(3)f－32.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为