【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.6　函数的图象

§2.6函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．利用描点法作函数图象的方法步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y＝f(x)―――――――――――――――――――→a1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y＝f(ax)．②y＝f(x)――――――――――――――――――――→a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变y＝af(x)．(3)对称变换①y＝f(x)――――――→关于x轴对称y＝－f(x)．②y＝f(x)―――――→关于y轴对称y＝f(－x)．③y＝f(x)――――――→关于原点对称y＝－f(－x)．④y＝ax(a0且a≠1)――――――――→关于y＝x对称y＝logax(a0且a≠1)．(4)翻折变换①y＝f(x)――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.②y＝f(x)――――――――――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．函数y＝f(x)和y＝f(2－x)的图象有什么关系？提示y＝f(x)与y＝f(2－x)的图象关于x＝1对称．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)题组二教材改编2．下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()答案C解析其图象是由y＝x2图象中x0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．3．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案B解析依题意，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．4.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2f(x＋t)4的解集为(－1,2)，则实数t的值为________．答案1解析由图象可知不等式－2f(x＋t)4即为f(3)f(x＋t)f(0)，故x＋t∈(0,3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1.题组三易错自纠5．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)等于()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1答案D解析依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到．∴y＝ex――――――→关于y轴对称y＝e－x―――――――――→向左平移1个单位长度y＝e－(x＋1)＝e－x－1，∴f(x)＝e－x－1.6．将函数f(x)＝2x＋3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝________.答案2x－3解析g(x)＝2(x－3)＋3＝2x－3.题型一作出函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2，x≥0，x2＋x－2，x0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．跟踪训练1作出下列函数的图象：(1)y＝2x－1x－1；(2)y＝|x2－4x＋3|.解(1)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．题型二函数图象的辨识例2(1)(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]上的图象大致为()答案D解析∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π20，∴排除BC.故选D.(2)如图可能是下列哪个函数的图象()A．y＝2x－x2－1B．y＝2xsinx4x＋1C．y＝(x2－2x)exD．y＝xlnx答案C解析函数的定义域为R，排除D；当x0时，y0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－320，排除A；B中，当sinx＝0时，y＝0，∴y＝2x·sinx4x＋1有无数个零点，排除B.思维升华辨识函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．跟踪训练2(1)(2021·武汉调研)函数f(x)＝3x－3－xx4的大致图象为()答案B解析易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝3－x－3x－x4＝－3x－3－xx4＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－13＝830，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A．y＝f(|x|)B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|)D．y＝f(－|x|)答案C解析题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C.题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例3已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2确定零点个数、解不等式例4(1)已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．答案5解析方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝12或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)答案D解析因为f(x)为奇函数，所以不等式fx－f－xx0可化为fxx0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．命题点3求参数的取值范围例5(2021·唐山模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为12，1.若f(x)g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．答案－1，12解析如图作出函数f(x)的图象，当－1≤k12时，函数g(x)＝kx的图象恒在函数f(x)图象的下方．思维升华(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a1时，两函数图象有两个交点；当0a1时，两函数图象有一个交点．故a1.(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)f(－x)－2x的解集是________．答案(－1,0)∪(1，2]解析由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)－x.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．课时精练1．函数y＝－ex的图象()A．与y＝ex的图象关于y轴对称B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称答案D解析由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．2．函数f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为()答案B解析∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0,1)时，2x＋2－x0，ln|x|0，可知f(x)0，排除A，C.3．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C解析∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴y＝lgx――――――――――→向左平移3个单位长度y＝lg(x＋3)――――――――――→向下平移1个单位长度y＝lg(x＋3)－1.4．下列函数中，其图象与函数f(x)＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C