【新高考复习】2022届新高考数学提分计划之函数与导数 新高考I专用（6）

2022届新高考数学提分计划之函数与导数新高考I专用（6）1.若函数2,0,(),0xxfxxax是(,)上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.(,1]D.(,1)2.已知1.50.5a，6log15b，5log16c，则()A.bcaB.cbaC.abcD.acb3.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为()A.2000(10.2)mgxB.20000.8mgxC.200010.2mgxD.20000.2mgx4.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()1fxxx.则()3fx的解集是()A.[0,1]B.[1,1]C.[2,1]D.(,1][1,)5.已知aR.设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式0fx在R上恒成立，则a的取值范围为()A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]6.（多选）我们把定义域为[0,)且同时满足以下两个条件的函数()fx称为“函数”：（1）对任意的[0,)x，总有()0fx；（2）若0x，0y，则有()()()fxyfxfy成立.下列判断正确的是()A.若()fx为“函数”，则(0)0fB.若()fx为“函数”，则()fx在[0,)上为增函数C.函数0,,()1,xgxxQQ在[0,)上是“函数”D.函数2()gxxx在[0,)上是“函数”7.（多选）对于函数2ln()xfxx，下列说法正确的是()A.()fx在ex处取得极大值12eB.()fx有两个不同的零点C.(2)(π)(3)fffD.若21()fxkx在(0,)上恒成立，则e2k8.已知函数1222,1,()log(1),1,xxfxxx且()3fa，则(6)fa___________.9.已知函数e()xfxx，(0,)x，当21xx时，不等式112221fxaxfxaxxx恒成立，则实数a的取值范围为____________.10.已知函数()(1ln)fxxx.(1)讨论()fx的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.答案以及解析1.答案：C解析：2,0,(),0xxfxxax是(,)上的单调递增函数，02a，即1a，故选C.2.答案：A解析：1.51.50.52222a，66log15log362b，55log16log252c，因此ab，ac.又lg16lg150，lg6lg50，lg15lg16lg6lg5，即65log15log16，从而bca，故选A.3.答案：B解析：由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了2000mg该药物，x个小时后病人血液中这种药物的含量为2000(120%)20000.8(mg)xxy，故选B.4.答案：B解析：当0x时，()1fxxx，则()fx在[0,)上为增函数，且(1)1113f，又函数()fx是定义在R上的偶函数，所以()3(||)(1)||1fxfxfx，利用特殊值、奇偶性，将不等式等价转化为在同一单调区间内两函数值的大小关系，利用单调性解决问题.解得11x，即x的取值范围为[1,1]，故选B.5.答案：C解析：解法一当0a时，不等式()0fx恒成立，排除D;当ea时，22e2e,1,()eln,1,xxxfxxxx当1x时，2()2e2efxxx的最小值为(1)10f，满足()0fx;当1x时，由()elnfxxx可得ee()1xfxxx，易得()fx在ex处取得极小值(也是最小值)(e)0f，满足()0fx恒成立，排除A，B.故选C.解法二若2221,()22()2xfxxaxaxaaa，当1a时，可得()fx的最小值为2()2faaa，令()0fa，解得02a，故01a;当1a时，可得()fx的最小值为(1)10f，满足条件.所以0a.若1x，由()lnfxxax可得()1axafxxx，当1a时，()0fx，则()fx单调递增，故只需(1)0f，显然成立;当1a时，由()0fx可得xa，易得()fx的最小值为()lnfaaaa，令()0fa，解得ea，故1ea，所以ea.综上，a的取值范围是[0,e].6.答案：AD解析：对于选项A，由条件（1）知，()0fx，则(0)0f，由条件（2）知，(00)(0)(0)fff，即(0)0f，所以(0)0f，A正确；对于选项B，当()0([0,))fxx时，符合条件（1），（2），()fx是“函数”，但()fx在[0,)上不是增函数，B错误；对于选项C，取22x，22y，则(22)1g，(22)1g，[(22)(22)](4)0gg，不满足()()()gxygxgy，所以()gx不是“函数”，C错误；对于选项D，2()gxxx在[0,)上单调递增，所以()(0)0gxg，满足条件（1），()()()gxygxgy222()()2xyxyxxyyxy，当0x，0y时，20xy，此时()()()gxygxgy，满足条件（2），D正确.故选AD.7.答案：ACD解析：易知函数()fx的定义域为(0,)，312ln()xfxx，当(0,e)x时，()0fx，()fx单调递增，当(e,)x时，()0fx，()fx单调递减，所以()fx在ex处取得极大值1(e)2ef，A正确；令()0fx，则ln0x，即1x，故()fx只有一个零点，B错误；显然e3π，因此(π)(3)ff，易知lnπ1lnπ(π)π2πf，ln21ln21ln4(2)22224f，设ln()xhxx，则21ln()xhxx，当(e,)x时，()0hx，()hx单调递减，而eπ4，所以(π)(4)hh，即lnπln4π4，所以(2)(π)ff，所以(2)(π)(3)fff，C正确；令22ln1()(0)xgxxxx，则312ln()xgxx，当10,ex时，()0gx，当1,ex时，()0gx，所以()gx在1ex处取得极大值也是最大值1e2eg，因为21()fxkx在(0,)x上恒成立，所以e2k，D正确.故选ACD.8.答案：74解析：当1x时，111()22221xfx，故1a，则2()log(1)3faa，18a，得7a，117(6)(1)224faf，故答案为74.9.答案：e,2解析：由题可知，当21xx时，不等式22111222xfxaxxfxax恒成立，设22()()exgxxfxaxax，则()gx在(0,)x上是增函数，则()e20xgxax在(0,)上恒成立，即e2xax在(0,)上恒成立.令e()xmxx，则2(1)e()xxmxx，当(0,1)x时，()0mx，()mx单调递减，当(1,)x时，()0mx，()mx单调递增.所以min2()(1)eamxm，所以e2a.10.答案：（1）由题可得()1ln1lnfxxx，所以当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递增；当(1,)x时，()0fx，()fx单调递减，所以()fx在(0,1)单调递增，()fx在(1,)单调递减.（2）由lnlnbaabab，得111111lnlnaabbba，即11111ln1lnaabb.令11xa，21xb，则1x，2x为()fxk的两根，其中(0,1)k.不妨令1(0,1)x，2(1,e)x，则121x，先证122xx，即证212xx，即证2112fxfxfx.令()()(2)hxfxfx，则()()(2)lnln(2)ln[(2)]hxfxfxxxxx.因为(0,1)x，所以(2)(0,1)xx.所以在(0,1)x内，()0hx恒成立，所以()hx单调递增，所以()(1)0hxh，所以112fxfx，所以122xx得证.同理，不妨令(0,1)x，2(1,e)x，则21exx.要证12exx，即证211efxfxfx.令()()(e)xfxfx，(0,1)x，则()ln[(e)]xxx，令00x，当00,xx时，()0x，()x单调递增；当0,1xx时，()0x，()x单调递减，又0x，()0fx，且(e)0f，故0x，(0)0，(1)(1)(e1)0ff，所以()0x恒成立，所以12exx得证，所以112eab.