【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.5 第1课时　椭圆及其性质

§8.5椭圆考试要求1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0e1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e＝ca＝1－ba2知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆．3．焦点弦的弦长最短是什么？提示焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为2b2a.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√)(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．(√)题组二教材改编2．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，若点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是____________．答案x225＋y216＝1解析因为|PF1|＋|PF2|＝10|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3．若椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝________.答案4或8解析当焦点在x轴上时，10－mm－20，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．答案x216＋y28＝1解析如图，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，即4a＝16，a＝4，又e＝ca＝22，则c＝22，b＝a2－c2＝22，故椭圆C的方程为x216＋y28＝1.5．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．答案152，1或152，－1解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以点P的坐标为152，1或152，－1.题组三易错自纠6．若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．答案mm12且m≠1解析由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，知m0，2m－10，m≠2m－1，解得m12且m≠1.7．已知椭圆x25＋y2m＝1(m0)的离心率e＝105，则m的值为________．答案3或253解析若a2＝5，b2＝m，则c＝5－m，由ca＝105，即5－m5＝105，解得m＝3.若a2＝m，b2＝5，则c＝m－5.由ca＝105，即m－5m＝105，解得m＝253.综上，m＝3或253.8．已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，则椭圆C的方程为________；若直线y＝12x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________.答案x24＋y2＝110解析由题意可知，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)中，由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1；设M()x1，y1，N()x2，y2(x10)，则x24＋y2＝1，y＝12x，解得x1＝2，y1＝22，x2＝－2，y2＝－22，则|MN|＝2＋22＋22＋222＝10.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用例1(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案A解析连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA||OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．(2)设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．答案433解析由题意知，c＝a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2－4，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝163，∴12PFFS△＝12|F1P|·|PF2|sin60°＝12×163×32＝433.若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．解∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴12PFFS△＝4.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)设P是椭圆x216＋y29＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________．答案60°解析由椭圆x216＋y29＝1，可得2a＝8，设||PF1＝m，||PF2＝n，可得m＋n＝2a＝8，mn＝12，4c2＝28＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，化简可得cos∠F1PF2＝12，∴∠F1PF2＝60°.(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋2，最小值为6－2.题型二椭圆的标准方程例2(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1答案D解析由题意可知椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意可知c＝1，e＝ca＝12，可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．答案y220＋x24＝1解析方法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k＋329－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.方法二(定义法)椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.思维升华(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．(2)椭圆的标准方程的两个应用①方程x2a2＋y2b2＝1与x2a2＋y2b2＝λ(λ0)有相同的离心率．②与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)共焦点的椭圆系方程为x2a2＋k＋y2b2＋k＝1(ab0，k＋b20)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．跟踪训练2(1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为()A.x2100＋y284＝1B.x225＋y29＝1C.x284＋y2100＝1D.x29＋y225＝1答案BD解析因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2a＝10，c＝4，解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为x29＋y225＝1.(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A.x27＋y22＝1B.x22＋y27＝1C.x29＋y24＝1D.x24＋y29＝1答案C解析设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝25，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝5，所以b＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程是x29＋y24＝1.题型三椭圆的简单几何性质命题点1离心率例3(1)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D解析如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.(2)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.