【新高考复习】专题02 集合 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．题型一.集合的基本概念1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．2．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，𝑏𝑎，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：根据题意，集合{1，𝑎+𝑏，𝑎}={0，𝑏𝑎，𝑏}，又∵a≠0，∴a+b＝0，即a＝﹣b，∴𝑏𝑎=−1，b＝1；故a＝﹣1，b＝1，则b﹣a＝2，故选：C．3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，3﹣m∈A，∴{3−𝑚=1𝑚≠0𝑚≠1或{3−𝑚=2𝑚≠0𝑚≠1或{3−𝑚=3𝑚≠0𝑚≠1，解得m＝2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【解答】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．1【解答】解：∵A＝B，∴3a﹣2＝a2，解得：a＝1或2，当a＝1时，集合A＝{0，1，1}不满足元素的互异性，故舍去，当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2，故选：C．2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}【解答】解：由题意作图则a＞2即可，故选：D．3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，0}D．{1，﹣1，0}【解答】解：∵集合M＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，N＝{x|ax＝1}，N⊆M，∴当a＝0时，N＝∅，成立；当a≠0时，N＝{1𝑎}，∵N⊆M，∴1𝑎=−1或1𝑎=1．解得a＝﹣1或a＝1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（0，12]．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}＝{x|（x﹣4a）（x+a）＞0，a＞0}＝{x|x＜﹣a或x＞4a，a＞0}，B＝{x|x＞2}，B⊆A，∴0＜4a≤2，解得0＜a≤12．∴实数a的取值范围是（0，12]．故答案为：（0，12]．5．已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．8【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4．故选：C．6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．15个【解答】解：a＝1，b＝2时，x＝6，a＝1，b＝3时，x＝12，a＝0，b＝2时，x＝4，a＝0，b＝3时，x＝9，故M＝{4，6，9，12}，故M的真子集的个数是：24﹣1＝15个，故选：D．题型三.集合的基本运算1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，解得m＝4，∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x的图象如下所示：圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为：2．故选：B．3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|ex﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}，说明集合M中只含有一个元素a3，即M＝{a3}，M的子集为∅，{a3}，∴集合M的子集个数是2．故选：B．5．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，𝐵={𝑥|32𝑥≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥32或x＜0}，故A∩B＝{﹣2，﹣1，2}，故选：C．6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：a＝1时，B中方程为x2﹣3x+1＝0，其解为无理数，A∩B＝∅；a＝2时，B中方程为x2﹣3x+2＝0，其解为1和2，A∩B＝{1，2}≠∅；a＝3时，B中方程为x2﹣3x+3＝0，无解，A∩B＝∅；综上，a的值为2．故选：B．7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．RB．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}＝{x|﹣4≤x≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R（A∩B）＝{x|x∈R，x≠0}，故选：B．8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3【解答】解：A＝{x|1＜x＜3}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；①若a≤0，B＝R，满足A⊆B；②若a＞0，则B＝{x|x≥a，或x≤﹣a}；∴0＜a≤1；综上得，a≤1．故选：A．题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x＞3}，∴∁UB＝{x|x≤3}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩（∁UB）＝{1，2，3}．故选：B．2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁UB＝{1，5，7}，∁UA∩∁UB＝{9}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由题意如图所示由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8}3．已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪（∁RN）＝（）A．∅B．MC．ND．R【解答】解：如图所示易知M∪（∁RN）＝M．故选：B．4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有17个．【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}当A＝{3}时，B＝{4}A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}A＝{1，3}时，B＝{4}，A＝{2，3}，B＝{4}A＝{1，2，3}，B＝{4}故答案为：17．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：𝑥⊗𝑦={𝑥+𝑦(𝑥与𝑦奇偶相同)𝑥×𝑦(𝑥与𝑦奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是9．【解答】解：①当x与y都为奇数时，有1+5＝6，3+3＝6，据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，据此可得出（1，