【新高考复习】专题08 解三角形 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题八《解三角形》讲义知识梳理.解三角形1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．题型一.正弦定理考点1.基本量运算1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若𝑎=1，𝑐=√3，𝐶=𝜋3，则A＝．2．在△ABC中，cosA=513，sinB=35，a＝20，则b的值为．3．在△ABC中，𝑏=3√2，𝑐𝑜𝑠𝐴=√63，𝐵=𝐴+𝜋2．（1）求a的值；（2）求cos2C的值．考点2.边角互化1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴)=𝑏，𝐵=60°，则A的大小为．2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（）A．23B．34C．45D．03．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA−√3acosB＝2b−√3c，则A＝（）A．𝜋3B．𝜋4C．𝜋6D．2𝜋3考点3.内角和应用1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=√2，则C＝（）A．𝜋12B．𝜋6C．𝜋4D．𝜋32．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，𝑎𝑐𝑜𝑠𝑐+√3𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑏−𝑐=0，则A＝（）A．𝜋2B．𝜋3C．𝜋4D．𝜋63．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝．题型二.余弦定理1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（）A．3𝜋4B．𝜋3C．𝜋4D．𝜋62．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知3𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐，且a2﹣c2＝2b，则b＝（）A．4B．3C．2D．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，𝑠𝑖𝑛𝐶=√2𝑠𝑖𝑛𝐴，则（）A．a＝bB．a＜bC．a＞bD．a与b的大小关系不能确定4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2﹣c2＝2b，则b＝5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2𝐴2=𝑏+𝑐2𝑐，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形题型三.高、中点、角平分线问题1．在△ABC中，B=𝜋4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于（）A．3√1010B．√1010C．−√1010D．−3√10102．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC=𝜋3，b=√7，c＝2，D为BC的中点．（Ⅰ）求cos∠BAC的值；（Ⅱ）求AD的值．3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为．题型四.周长、面积问题1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为3√34，b＝3，B=2𝜋3．则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形2．（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=√2，则AC＝（）A．5B．√5C．2D．13．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．4．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=√7，△ABC的面积为3√32，求△ABC的周长．5．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2𝐵2．（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．题型五.最值、取值范围问题考点1.最值问题1．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b，若△ABC的面积为S=√3c，则ab的最小值为（）A．56B．48C．36D．283.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑎+√2𝑏=2𝑐，则cosC的最小值为．4．（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC=√3，则AB+2BC的最大值为．5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=35c，则tan（A﹣B）的最大值为（）A．35B．13C．38D．34考点2.取值范围问题1．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为．2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A＝2B，则𝑎𝑏的取值范围是．3．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且sin2B＝sinA（sinA+sinC），则△ABC的周长的取值范围为．4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则1𝑡𝑎𝑛𝐴−1𝑡𝑎𝑛𝐵的取值范围为．5．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则𝐵𝐴→⋅𝐵𝐶→的取值范围是．题型六.解三角形解答题1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=𝜋3，___且b=√2，请从①b2+√2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．2．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且bsinB﹣asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．（1）求角A；（2）若AD是BC边上的中线AD=√72，求△ABC的面积．3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3b﹣c）cosA＝acosC．（1）求cosA；（2）若a=√3，求△ABC的面积S的最大值．4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A+sin2B﹣sin2C=−√3𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，求√3𝑎+𝑏的取值范围．课后作业.解三角形1．下列命题中，正确的是（）A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinBB．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形2．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．且sinB+sinC＝1，则△ABC是（）A．等腰钝角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=−14，则𝑏𝑐=（）A．6B．5C．4D．34．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM=13AB，b＝2，CM=2√73，2𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛2𝐵=𝑐𝑏，则S△ABC＝（）A．3√34B．√3C．2√3D．8√335．在△ABC中，B＝120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3，则AC＝（）A．2B．√5C．√6D．√76．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c＝4，则AC边上中线长的最小值．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶1−𝑐𝑜𝑠𝐴=√3c．（1）若a＝2，求△ABC外接圆的半径；（2）若b+c＝10，S△ABC＝4√3，求a的值．8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．（1）求角C；（2）若𝑐=2√3，求△ABC的周长的最大值．9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin2𝐴+𝐵2=1+cos2C（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=√3，求△ABC的面积S的取值范围．