【新高考复习】专题16统计与统计案例 16.2统计案例 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解

专题十六《统计与统计案例》讲义16.2统计案例题型一.一元线性回归模型1．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x（百个）与相应加工总时长y（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为𝑦^=0.7x+0.05，则下列结论错误的是（）x2345y1.52m3.5A．加工总时长与生产零件数呈正相关B．该回归直线一定过点（3.5，2.5）C．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时D．m的值是2.85【解答】解：由题意，线性回归方程为𝑦^=0.7x+0.05，对于A：∵b＝0.7＞0，∴加工总时长与生产零件数呈正相关；对于B：当x＝3.5时，可得y＝0.7×3.5+0.05＝2.5，即该回归直线一定过点（3.5，2.5）对于C：由b＝0.7，∴零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时，对于D：回归方程过平均中心，𝑥=2+3+4+54=3.5，𝑦=1.5+2+𝑚+3.54=2.5．解得：m＝3故选：D．2．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂．已知∑10𝑖=1𝑥𝑖=225，∑10𝑖=1𝑦𝑖=1600，𝑏̂=4．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）A．160B．162C．166D．170【解答】解：因为∑10𝑖=1𝑥𝑖=225，∑10𝑖=1𝑦𝑖=1600，𝑏̂=4，则𝑥=22510=22.5，𝑦=160010=160，所以𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥=160−4×22.5=70，所以线性回归方程为𝑦̂=4x+70，当x＝23时，𝑦̂=4×23+70＝162，所以该班某学生的脚长为23，估计其身高为162厘米．故选：B．3．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．4．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：𝑦̂=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：𝑦̂=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解答】解：（1）根据模型①：𝑦̂=−30.4+13.5t，计算t＝19时，𝑦̂=−30.4+13.5×19＝226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：𝑦̂=99+17.5t，计算t＝9时，𝑦̂=99+17.5×9＝256.5；利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些．解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则|r2|＞|r1|，所以模型②较好；解法3，选择与2018邻近的三个年份（2014，2015，2016）计算模型②对应的残差绝对值之和＝2.5+5+1.5＝9，模型①对应的残差绝对值之和＝12+23.5+21＝56.5；且9＜56.5，所以模型②较好；所以利用模型②的预测值更可靠些．5．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7𝑖=1yi＝9.32，∑7𝑖=1tiyi＝40.17，√∑7𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r=∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2，回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏̂=∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑡．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r=∑7𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)√∑7𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2∑7𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2=∑7𝑖=1𝑡𝑖𝑦𝑖−7𝑡𝑦√∑7𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2∑7𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2≈40.17−4×9.322√7⋅0.55≈2.892.9106≈0.99，∵0.99＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）𝑏̂=∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2=∑7𝑖=1𝑡𝑖𝑦𝑖−7𝑡𝑦∑7𝑖=1𝑡𝑖2−7𝑡2≈2.8928≈0.10，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑡≈1.33﹣0.10×4≈0.93，∴y关于t的回归方程𝑦̂=0.10t+0.93，2016年对应的t值为9，故𝑦̂=0.10×9+0.93＝1.83，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．6．（2018秋•岳麓区校级月考）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x654321正常值y556372809099（1）作出散点图：（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂x+𝑎̂（精确到0.01）；（3）根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中𝑏̂=∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖2−𝑛𝑥2，∑6𝑖=1xiyi＝1.452，∑6𝑖=1x𝑖2=91，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥．【解答】解：（1）（2）𝑥=16（6+5+4+3+2+1）＝3.5，𝑦=16（55+63+72+80+90+99）＝76.5，𝑥𝑦=267.75，𝑏̂=1452−6×267.7591−6×3.52≈−8.83，𝑎̂=76.5+8.83×3.5≈107.41，∴线性回归方程为y＝﹣8.83x+107.41；（3）x＝2时，y＝﹣8.83×2+107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11＜1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导．7．（2020秋•昌江区校级期中）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．𝑥𝑦𝑤∑8𝑖=1（xi−𝑥）2∑8𝑖=1（wi−𝑤）2∑8𝑖=1（xi−𝑥）（yi−𝑦）∑8𝑖=1（wi−𝑤）（yi−𝑦）46.65636.8289.81.61469108.8表中𝑤𝑖=√𝑥𝑖，𝑤=18∑8𝑖=1𝑤𝑖．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑛𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢)(𝑣𝑖−𝑣)∑𝑛𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢)2，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．（1）根据散点图判断y＝a+bx和y＝c+d√𝑥哪一个适宜作为销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x，根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？【解答】解：（1）由散点图可以判断，y＝c+d√𝑥适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令w=√𝑥，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=108.61.6=68，c=𝑦−d𝑤=563﹣68×6.8＝100.6，∴y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6+68√𝑥；（3）①由（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6+68√49=576.6，年利润z的预报值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32；②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值z＝0.2（100.6+68√𝑥）﹣x＝﹣x+13.6√𝑥+20.12，当√𝑥=13.62=6.8时，即x＝46.24时年利润的预报值最大．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布题型二.独立性检验1．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型Hln1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（）A．这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的有效率为1%B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型Hln1C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”【解答】解：∵并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，这说明假设不合理的程度约为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用不合理的程度约为99%，∴有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”故选：D．2．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2≥k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【解答】解：∵计算得到统计量值K2的观测值k≈4.892＞3.841，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．故选：C．3．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满